Რასელ პარადოქსი: ძირითადი ინფორმაცია, მაგალითები, ფორმულირება

Russell პარადოქსი ის არის, ორი ურთიერთდამოკიდებული ლოგიკური antinomy.

ორი ფორმის რასელ პარადოქსი

ყველაზე ხშირად განხილული სახით ეწინააღმდეგება ლოგიკას კომპლექტი. ზოგიერთი კომპლექტი, როგორც ჩანს წევრები თავს, და სხვები - არა. კომპლექტი ყველა კომპლექტი თავისთავად კომპლექტი, ასე რომ, როგორც ჩანს, ეს ეხება თავად. ნულოვანი ან ცარიელი, თუმცა, არ უნდა იყოს წევრი თავად. აქედან გამომდინარე, სიმრავლეთა სიმრავლე, როგორც ნულოვანი არ არის შეყვანილი თავად. პარადოქსი ჩნდება, როდესაც საკითხი, თუ კომპლექტი წევრი თავად. ეს შესაძლებელია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ეს არ არის.

კიდევ ერთი ფორმა პარადოქსი ის არის, წინააღმდეგობა დაკავშირებით თვისებები. გარკვეული თვისებები, როგორც ჩანს, ეხება თავს, ხოლო სხვები არ არიან. ქონების ქონება თავისთავად ქონება, ხოლო ქონების იქნება ეს კატა არ არის. განვიხილოთ ქონება, რომელსაც ქონება, რომელიც არ ეკუთვნის მას. თუ ეს ეხება თავად? ისევ და ისევ, ნებისმიერ ვარაუდები უნდა იყოს პირიქით. პარადოქსი ეწოდა საპატივცემულოდ ბერტრან რასელი (1872-1970), რომელმაც აღმოაჩინა, რომ 1901 წელს.

ამბავი

გახსნა Russell მოხდა მისი მუშაობა "პრინციპები მათემატიკა". მიუხედავად იმისა, რომ მან აღმოაჩინა პარადოქსი დამოუკიდებლად, არ არსებობს მტკიცებულება, რომ სხვა მათემატიკოსები და დეველოპერები სიმრავლეთა თეორია, მათ შორის Ernst Zermelo და დავით Hilbert, იცოდნენ პირველი ვერსია წინააღმდეგობები მის წინაშე. Russell, თუმცა, იყო პირველი, ვინც დეტალურად განიხილეს პარადოქსი მისი გამოქვეყნებული ნამუშევრები, პირველად სცადა ფორმულირება გადაწყვეტილებები და პირველი სრულად ვაფასებთ მის მნიშვნელობაზე. მთელი თავი "პრინციპების" მიეძღვნა ამ საკითხზე მსჯელობა და განაცხადის მიეძღვნა თეორია ტიპის, რომელიც Russell შემოთავაზებული გამოსავალი.

Russell აღმოაჩინა "პარადოქსი მატყუარა ', იმის გათვალისწინებით, Cantor კომპლექტი თეორია, რომელიც ამბობს, რომ ძალა ნებისმიერი კომპლექტი მცირეა კომპლექტი თავისი subsets. მაინც, დომენის უნდა იყოს, როგორც ბევრი subsets რადგან არსებობს ელემენტების ის, თუ ერთი subset თითოეული ელემენტის არის, რომელიც შეიცავს მხოლოდ ამ ელემენტს. გარდა ამისა, Cantor დაადასტურა, რომ რიგი ელემენტები არ შეიძლება იყოს ტოლი რაოდენობის subsets. თუ არ იყო იგივე ნომერი, ის უნდა არსებობდეს ƒ ფუნქცია, რომელიც ცარიელია ელემენტები მათი subsets. ამავე დროს, ის შეიძლება დადასტურდა, რომ ეს შეუძლებელია. ზოგიერთი საკითხი შეიძლება გამოიფინოს ფუნქცია ƒ subsets, რომელიც შეიცავს მათ, ზოგი არა.

განვიხილოთ ქვესიმრავლე ელემენტები, რომელიც არ ეკუთვნის მათი სურათები, სადაც ისინი არიან ƒ. ეს არის თავად subset ელემენტები, და, შესაბამისად, ƒ ფუნქცია არიან ის ელემენტს domain. პრობლემა ისაა, რომ მაშინ ჩნდება კითხვა, არის თუ არა ეს ელემენტი ეკუთვნის subset, რომელსაც იგი აჩვენებს ƒ. ეს შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მას არ ეკუთვნის. რასელ პარადოქსი შეიძლება განვიხილოთ, როგორც მაგალითად იგივე ხაზი მიზეზის, მხოლოდ მარტივდება. რა არის უფრო - კომპლექტი ან subsets კომპლექტი? როგორც ჩანს, რომ იქ უნდა იყოს უფრო კომპლექტი, როგორც ყველა subsets კომპლექტი თავს. მაგრამ თუ Cantor თეორემა მართალია, მაშინ იქ უნდა იყოს უფრო subsets. Russell განიხილება უბრალოდ ცარიელია კომპლექტი საკუთარ თავზე და გამოყენებითი kantoriansky მიდგომა გათვალისწინებით კომპლექტი ყველა ამ ელემენტების, გარეთ კომპლექტი, რომელშიც ისინი ნაჩვენები. ჩვენება Russell ხდება კომპლექტი ყველა კომპლექტი, არასამთავრობო.

შეცდომა Frege

"პარადოქსია, რომ მატყუარა" ჰქონდა ღრმა გავლენა ისტორიული განვითარების თეორია კომპლექტი. მან აჩვენა, რომ კონცეფცია უნივერსალური კომპლექტი საკმაოდ პრობლემატურია. მან ასევე კითხვის ნიშნის ცნება, რომ თითოეული განსაზღვრული მდგომარეობა და შემასმენლის შეიძლება ვივარაუდოთ არსებობა გავურბივარ მხოლოდ ის, რომელიც აკმაყოფილებს ამ მდგომარეობაში. ვარიანტი პარადოქსი დაკავშირებით თვისებები - ბუნებრივ გაგრძელებას ვერსია, კომპლექტი - სერიოზული ეჭვი, რომ ეს შესაძლებელია ამტკიცებენ, ობიექტური არსებობის ქონება ან უნივერსალური შესაბამისად თითოეულ განისაზღვრება მდგომარეობის, ან პრედიკატს.

მალე წინააღმდეგობები და პრობლემები მუშაობის logicians იპოვეს, ფილოსოფოსები და მათემატიკოსები, რომლებიც არ გააკეთა მსგავსი ვარაუდები. 1902 წელს, Russell აღმოჩნდა, რომ ერთ-ერთ ვარიანტად პარადოქსი შეიძლება გამოიხატოს ლოგიკური სისტემა, განვითარებული ტომი I of Gottlob Frege ის "ფონდები არითმეტიკული", ერთ-ერთი მთავარი სამუშაოები ლოგიკა გვიან XIX - XX საუკუნის დასაწყისში. ფილოსოფია Frege ბევრი გაგებული, როგორც "გაგრძელების" ან "ღირებულების სპექტრი" კონცეფცია. ცნებები უახლოესი იმ correlates. ისინი სავარაუდოდ არსებობს ნებისმიერ მდგომარეობაში და შემასმენლის. ამდენად, არ არის კონცეფცია, საქართველოს ნაკრები, რომელიც არ განეკუთვნება მისი განსაზღვრის კონცეფცია. არსებობს ასევე კლასის განისაზღვრება ამ კონცეფცია, და იგი ექვემდებარება განსაზღვრის თავისი კონცეფცია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ეს არ არის.

Russell მისწერა Frege ამ კონფლიქტის ივნისი 1902 მოწერა გახდა ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო და ისაუბრა ისტორიაში ლოგიკა. Frege მაშინვე მიხვდა, რომ კატასტროფული შედეგები პარადოქსი. მან აღნიშნა, რომ მობილური დაპირისპირება დაკავშირებით თვისებები მისი ფილოსოფია გადაწყდეს გარჩევის ცნებები დონეზე.

Frege ის ცნება გაგებული, როგორც გადასვლას არგუმენტები ფუნქცია სიმართლე. ცნებები პირველ დონეზე აღების არგუმენტები ობიექტების მეორე დონის ცნებები მიიღოს როგორც არგუმენტები ამ ფუნქციების, და ასე შემდეგ. ამდენად, კონცეფცია შეიძლება არ მიიღოს თავად როგორც არგუმენტი, და პარადოქსი თვალსაზრისით თვისებები ვერ ჩამოყალიბდეს. მიუხედავად ამისა კომპლექტი, გაფართოების ან ცნებები Frege გაგებული, როგორც გულისხმობდა იგივე ლოგიკური ტიპის, რომ ყველა სხვა ობიექტები. მაშინ ყოველი კომპლექტი არსებობს თუ არა მას ქვეშ ექცევა კონცეფცია განსაზღვრავს მას.

როდესაც Frege, Russell მიიღო პირველი წერილი, მეორე ტომი "საფუძვლები არითმეტიკული" უკვე დასრულდა ბეჭდვა. იგი იძულებული გახდა სწრაფად მომზადება პროგრამა, რომელიც პასუხს პარადოქსი Russell. მაგალითები Frege შეიცავს რაოდენობის შესაძლო გადაწყვეტილებები. მაგრამ ის მივიდა იმ დასკვნამდე, დასუსტება კონცეფცია აბსტრაქცია კომპლექტი ლოგიკური სისტემა.

ორიგინალური, ეს იყო, შეიძლება დავასკვნათ, რომ ობიექტი ეკუთვნის კომპლექტი თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ იგი მიეკუთვნება კონცეფცია, განსაზღვრავს მას. შესწორებული სისტემა შეიძლება ითქვას, რომ ობიექტი ეკუთვნის კომპლექტი თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ იგი მიეკუთვნება ცნება განსაზღვრის გავურბივარ, მაგრამ არ არის მითითებული საკითხი. რასელ პარადოქსი ჩნდება.

გამოსავალი, თუმცა, არ არის მთლიანად კმაყოფილი Frege. და ეს იყო მიზეზი. რამდენიმე წლის შემდეგ, უფრო რთული ფორმა ეწინააღმდეგება არ იქნა შესწორებული სისტემა. მაგრამ მაშინაც კი, სანამ ეს მოხდა, Frege მიტოვებული მისი გადაწყვეტილებები და, როგორც ჩანს, მოდის იმ დასკვნამდე, რომ მისი მიდგომა იყო უბრალოდ unworkable, და რომ ლოგიკა უნდა გავაკეთოთ ყოველგვარი კომპლექტი.

ზოგიერთებს უკვე შესთავაზა, შედარებით უფრო წარმატებული ალტერნატიული გადაწყვეტილებები. ეს განხილულია ქვემოთ.

თეორია სახის

ზემოთ აღინიშნა, რომ Frege იყო ადეკვატური პასუხი პარადოქსების სიმრავლეთა თეორია ვერსიაში შემუშავებულია თვისებები. Frege პასუხი წინ უძღოდა ყველაზე ხშირად გამოსავალი ამ ფორმით პარადოქსი. იგი ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ თვისებები ექვემდებარება სხვადასხვა სახის და რა ტიპის საკუთრება არ არის იგივე, რაც საკითხი, რომელიც მას ეხება.

ამდენად, არც კი ჩნდება კითხვა, თუ ქონება არის მოქმედი თავად. ლოგიკური ენა, რომელიც ჰყოფს ელემენტები ამგვარი იერარქიის გამოყენებით თეორია ტიპის. მიუხედავად იმისა, რომ უკვე გამოიყენება Frege, პირველად იგი სრულად განმარტა და დასაბუთებული რასელი დანართი "პრინციპი". თეორია ტიპის იყო უფრო სრულყოფილი, ვიდრე განსხვავება Frege დონეზე. მან გაიზიარა თვისებები არა მხოლოდ სხვადასხვა სახის ლოგიკა, არამედ შეიქმნა. ჩაწერეთ თეორია მოსაგვარებლად წინააღმდეგობა პარადოქსი Russell შემდეგნაირად.

იმისათვის, რომ იყოს ფილოსოფიურად ადეკვატური, მიღების თეორია სახის თვისებები მოითხოვს განვითარების თეორია ბუნების თვისებები, ასე რომ შეიძლება ახსნა, რატომ არ შეიძლება იყოს გამოყენებული, რათა თავს. ერთი შეხედვით, ის აზრი, რომ ძირითადი საკუთარი ქონება. უძრავი ქონება მყოფი თვითმყოფადობას, როგორც ჩანს, ეს არის ასევე თვითმყოფადობას. ქონება, როგორც ჩანს, უნდა იყოს ლამაზი სასიამოვნო. ანალოგიურად, როგორც ჩანს, როგორც ჩანს, ცრუ ვთქვა, რომ ქონება მყოფი კატა კატა.

მიუხედავად ამისა, სხვადასხვა მოაზროვნეთა გაამართლა სამმართველოს სხვადასხვა ტიპის. Russell კი მისცა განსხვავებული განმარტება სხვადასხვა დროს მის კარიერაში. თავის მხრივ, ლოგიკა გამოყოფის სხვადასხვა ცნებები Frege დონეზე მოდის მისი თეორია უჯერი ცნებები. ცნებები, როგორც ფუნქცია, არსებითად, არასრული. იმისათვის, რომ ღირებულება, მათ სჭირდებათ არგუმენტი. თქვენ არ შეგიძლიათ უბრალოდ ერთი კონცეფცია ძირითადი კონცეფცია იგივე ტიპის, იმიტომ, რომ ის კვლავ მოითხოვს მისი არგუმენტი. მაგალითად, მიუხედავად იმისა, რომ არ არის გამორიცხული, რომ მიიღოს კვადრატული ფესვი კვადრატული ფესვი ნომერი, თქვენ შეგიძლიათ არა მხოლოდ გამოიყენოს კვადრატული ფესვი ფუნქცია კვადრატული ფესვი ფუნქცია და მიიღოს შედეგი.

მომხმარებლის კონსერვატიზმი თვისებები

კიდევ ერთი გამოსავალი არის პარადოქსი თვისებები უარყოფა თვისებები არსებობა არავითარ პირობებში, ან კარგად ჩამოყალიბებული პრედიკატს. რა თქმა უნდა, თუ ვინმე eschews მეტაფიზიკური თვისებები ორივე ობიექტური და დამოუკიდებელი ელემენტი, როგორც მთელი, თუ ავიღებთ ნომინალიზმი პარადოქსი შეიძლება იქნას აცილებული მთლიანად.

თუმცა, უნდა გადაწყვიტოს antinomy არ უნდა იყოს ისე უკიდურესი. Logic უმაღლესი წესრიგის სისტემები განვითარებული Frege და რასელ, შეიცავს რა ჰქვია კონცეპტუალური პრინციპი, რომლის მიხედვითაც თითოეული ღია ფორმულები მიუხედავად იმისა, თუ კომპლექსი არსებობს როგორც ნაწილი ქონება ან კონცეფცია მაგალითად, მხოლოდ იმ საქონელს, რომელიც ემთხვევა ფორმულა. მათ მიმართეს ატრიბუტები ყველა შესაძლო პირობები და predicates, არ აქვს მნიშვნელობა, თუ რამდენად რთული ისინი.

მიუხედავად ამისა, შესაძლებელი იყო, რომ მიიღოს უფრო მკაცრი მეტაფიზიკა თვისებები, რაც უფლებას ობიექტური არსებობის მარტივი თვისებები, მათ შორის, მაგალითად, როგორიცაა წითელი ფერი, სიმკვრივე, სიკეთე და ასე შემდეგ. დ თქვენ შეგიძლიათ კიდევ მისცეს ამ თვისებების ვრცელდება თავს, როგორიცაა სიკეთე შეუძლია კეთილი.

და იგივე სტატუსი კომპლექსური ატრიბუტები შეიძლება უარყო, მაგალითად, როგორიცაა "თვისებები", რომელსაც ჩვიდმეტი ხელმძღვანელები, იყოს დაწერილი ქვეშ წყალი და ასე შემდეგ. D. ამ შემთხვევაში, არ წინასწარ მდგომარეობა არ პასუხობს ქონება, გაგებული, როგორც ცალ-ცალკე არსებული ელემენტს, რომელსაც აქვს საკუთარი თვისებები. ამგვარად ერთი შეგიძლიათ არსებობას უარყოფენ მარტივი თვისებები იყოს საკუთრების რომ-არასამთავრობო მიმართა-to-self და თავიდან პარადოქსი გამოყენებით უფრო კონსერვატიული მეტაფიზიკური თვისებები.

რასელ პარადოქსი: გამოსავალი

ზემოთ აღინიშნა, რომ ბოლოს მისი ცხოვრება Frege სრულიად მიტოვებული ლოგიკა კომპლექტი. ეს, რა თქმა უნდა, ერთ-ერთი გამოსავალი antinomy სახით კომპლექტი: მარტივი უარყოფა ასეთი ელემენტები, როგორც მთელი. გარდა ამისა, არსებობს სხვა პოპულარული არჩევანი, საფუძვლები, რომლებიც ნაჩვენებია ქვემოთ.

თეორია მრავალი სახის

როგორც ზემოთ აღინიშნა, Russell ითამაშა უფრო სრულყოფილი თეორია ტიპის,, რომელიც არა მარტო თვისებები ან ცნებები სხვადასხვა სახის, არამედ შეიქმნა. Russell საერთო წაუკიდეს გავურბივარ ცალკე ერთეული, გავურბივარ კომპლექტი ცალკე ობიექტები და ა.შ. კომპლექტი ობიექტები არ იყო გათვალისწინებული, და პლურალიზმი კომპლექტი - .. კომპლექტი. ბევრი არასოდეს სარგებლობდა ტიპის, გაძლევთ აქვს წევრად თავად. ამიტომ არ არის სიმრავლეთა სიმრავლე, რომლებიც არ შედიან საკუთარი, რადგან ნებისმიერი კომპლექტი კითხვები იმის შესახებ, როგორც წევრი, თავისთავად დარღვევა ტიპის. ერთხელ, საკითხი აქ ახსნას მეტაფიზიკის კომპლექტი ასახსნელად ფილოსოფიური საფუძვლების დაყოფის ტიპის.

სტრატიფიკაციის

1937 წელს ვ ვ Kuayn შესთავაზა ალტერნატიული გადაწყვეტა, ისე, მსგავსი თეორია ტიპის. ძირითადი ინფორმაცია მას.

ჰყოფს ელემენტს კომპლექტი და სხვები. იმისთვის, რომ ვარაუდი მოძიებაში გავურბივარ ყოველთვის არასწორია ან უაზრო. კომპლექტი შეიძლება მხოლოდ იმ პირობით, როდესაც განსაზღვრის მათი პირობები არ არის დარღვევა ტიპის. ამდენად, Quine, გამოთქმა "x არ არის წევრი x" არის მნიშვნელოვანი განცხადება არ გულისხმობს არსებობას კომპლექტი ყველა ელემენტს x დაკმაყოფილების ამ მდგომარეობაში.

ამ სისტემის კომპლექტი არსებობს რამდენიმე ღია ფორმულით თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის სტრატიფიცირებული, t. E. თუ ცვლადების დანიშნული დადებითი რიცხვებით ისეთი, რომ ყოველ დამახასიათებელი კლების გავურბივარ წინა იგი ცვლადი ენიჭება დავალება ერთეულის პატარა, ვიდრე ცვლადი, შემდეგ მას. ეს ბლოკავს რასელ პარადოქსი, რადგან ფორმულა გამოიყენება, რათა დადგინდეს პრობლემა კომპლექტი, არსებობს იგივე ადრე და შემდეგ ცვლადი წევრობის ნიშანი მიღების unstratified.

მაგრამ ეს ჯერ კიდევ არ განსაზღვრავს, თუ რამდენად შედეგად სისტემა, რომელიც Quine "ახალი ფონდები მათემატიკური ლოგიკა" შეესაბამება.

უარყოფა

სრულიად განსხვავებული მიდგომა არის აღებული თეორია Zermelo - Fraenkel (ZF). აქ, ძალიან, დადგენილი ლიმიტის არსებობის კომპლექტი. ამის ნაცვლად, მიდგომა "ზემოდან ქვემოთ" რასელის და Frege, რომელიც თავდაპირველად ეგონა, რომ ყველა ცნებები, თვისებები, ან პირობები შეიძლება ვივარაუდოთ არსებობა კომპლექტი ყოველივე ეს ქონება ან შეხვდება ასეთი მდგომარეობა, ZF თეორია, ყველაფერი იწყება "ქვემოდან up."

ცალკეული ელემენტების ცარიელი სიმრავლე და შექმნას კომპლექტი. აქედან გამომდინარე, განსხვავებით ადრე სისტემები და რასელ Frege FIT არ ეკუთვნის უნივერსალური კომპლექტი, რომელიც მოიცავს ყველა ელემენტები და კიდევ ყველა კომპლექტი. ZF ადგენს მკაცრი შეზღუდვები არსებობა კომპლექტი. შეიძლება არსებობდეს მხოლოდ იმ, რომელშიც ნათლად მოისმენთ ან რომელიც შეიძლება ჩამოყალიბდეს საშუალებით განმეორებითი პროცესები და ასე შემდეგ. D.

მაშინ, ნაცვლად კონცეფცია აბსტრაქცია გულუბრყვილო ნაკრები, რომელიც აცხადებს, რომ კონკრეტული ელემენტის შედის კომპლექტი თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ იგი აკმაყოფილებს პირობები გამოყოფის პრინციპი გამოიყენება DF, გამოყოფა ან "დახარისხება". იმის ნაცვლად, რომ ვთქვათ არსებობის კომპლექტი ყველა ელემენტს, რომლებიც გამონაკლისის გარეშე დააკმაყოფილოს გარკვეული მდგომარეობა, თითოეული არსებული კომპლექტი Aussonderung მიუთითებს არსებობა ქვეჯგუფი ყველა ელემენტების ორიგინალური კომპლექტი, რომელიც აკმაყოფილებს მდგომარეობაშია.

შემდეგ მოდის აბსტრაქცია პრინციპი: თუ კომპლექტი არსებობს, მაშინ, ყველა x in A, x ეკუთვნის subset A, რომელიც აკმაყოფილებს იმ პირობით, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ x აკმაყოფილებს მდგომარეობის C. ეს მიდგომა ადგენს პარადოქსი Russell, მას შემდეგ, რაც ჩვენ არ შეგვიძლია უბრალოდ ვივარაუდოთ რომ არის, სიმრავლეთა სიმრავლე, რომლებიც არ შედიან თავს.

რა ბევრი კომპლექტი, შეგიძლიათ აირჩიოთ ან გაყოფა კომპლექტი, რომლებიც თავს, და ვინც არ არის ასეთი, მაგრამ მას შემდეგ, რაც არ არსებობს უნივერსალური კომპლექტი ჩვენ არ არიან კომპლექტი ყველა კომპლექტი. გარეშე, რა თქმა პრობლემა ადგენს Russell წინააღმდეგობა ვერ დადასტურდება.

სხვა გადაწყვეტილებები

გარდა ამისა, არ ყოფილა შემდგომი გაგრძელება და მოდიფიკაციების ეს გადაწყვეტილებები, როგორიცაა ჩანგალი ტიპის თეორია "პრინციპები მათემატიკა" სისტემის გაფართოების "მათემატიკური ლოგიკა" Quine, ისევე როგორც უფრო ბოლო დროს განვითარებულ მოვლენებზე თეორია კომპლექტი, გააკეთა Bernays, Gödel და ფონ Neumann. კითხვაზე, თუ საპასუხოდ უხსნად პარადოქსი Bertrand Russell ი, ჯერ კიდევ საკითხია დებატები.