Ბაზები მათემატიკური ანალიზი. როგორ მოვძებნოთ წარმოებული?

წარმოებული ფუნქცია f (x) აქვს კონკრეტული წერტილი x0 ფუნქცია მოუწოდა ზრდის თანაფარდობა ლიმიტი ნამატი არგუმენტი, იმ პირობით, რომ x იქნება 0, და საზღვრის არსებობს. წარმოებული ზოგადად დანიშნული ინსულტის, ზოგჯერ მეშვეობით წერტილი ან მეშვეობით დიფერენცირებული. ხშირად, წარმოებული საზღვრისპირა დეზინფორმაციულ შედეგები, რადგან ასეთი წარმომადგენლობა იშვიათად გამოიყენება.

ფუნქცია, რომელიც აქვს წარმოებული კერძოდ წერტილი x0, მოუწოდა დიფერენცირებული ასეთი წერტილი. დავუშვათ, D1 - გავურბივარ რაოდენობა, რომლის ფუნქცია f დიფერენცირებულია. მინიჭება ყოველი ერთი ნომრები x, რომლებიც D f '(x), ვიღებთ ფუნქცია აღნიშვნა D1. ეს ფუნქცია წარმოებული y = f (x). დანიშნულია: f '(x).

გარდა ამისა, წარმოებული გამოიყენება ფიზიკის და საინჟინრო. განვიხილოთ უბრალო მაგალითი. მასალა ეტაპზე გადადის წლის კოორდინატთა ღერძი, კითხვაზე, თუ რა კანონის შუამდგომლობა, რომ არის, x- კოორდინაცია ამ ეტაპზე ცნობილია, x (t) ფუნქცია. იმ დროს, ინტერვალი t0 to t0 + t = გადაადგილების წერტილი x (t0 + t) -x (t0) = x, და მისი საშუალო სიჩქარე v (t) = x / ტ.

ზოგჯერ ბუნების შუამდგომლობით ისე, რომ საშუალო სიჩქარე არ იცვლება მცირე დროის ინტერვალით, რაც იმას ნიშნავს, რომ მოძრაობის უფრო მეტი სიზუსტით ითვლება ერთიანი. გარდა ამისა, ღირებულება საშუალო სიჩქარე თუ t0 შემდეგნაირად რამდენიმე აბსოლუტურად ზუსტი ღირებულება, და არის მოხსენიებული, როგორც მყისიერ სიჩქარე v (t0), რომ წერტილი კონკრეტულ მომენტში t0. ითვლება, რომ მყისიერ სიჩქარე v (t) ცნობილია დიფერენცირებული ფუნქცია x (t), რა v (t) = x '(t). მარტივად რომ ვთქვათ, სიჩქარე - ეს არის წარმოებული კოორდინატები დროს.

გამდინარე სიჩქარე აქვს როგორც დადებითი და უარყოფითი, და ღირებულება არის 0. თუ ეს არის გარკვეული დროის ინტერვალით (t1; t2) არის დადებითი, მაშინ წერტილი მოძრაობს იმავე მიმართულებით, ანუ, x (t) კოორდინაციას იზრდება დრო, და თუ v (t) არის უარყოფითი, მაშინ კოორდინაცია x (t) მცირდება.

უფრო რთული შემთხვევები, წერტილი მოძრაობს თვითმფრინავი ან სივრცეში. მაშინ სიჩქარე - ვექტორი რაოდენობა და განსაზღვრავს თითოეული კოორდინატები ვექტორი v (t).

ანალოგიურად, შეიძლება შედარება დაჩქარება წერტილი. სიჩქარე დროის ფუნქცია, ანუ v = v (t). წარმოებული ასეთი ფუნქცია - მოძრაობის აჩქარება: a = v '(t). რომ არის, გამოდის, რომ იმ დროს წარმოებული სიჩქარე აჩქარება.

დავუშვათ, რომ y = f (x) - დიფერენცირებული ფუნქცია. ამის შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია განიხილოს შუამდგომლობა წერტილი კოორდინატთა ღერძი, რომელიც ხდება კანონის x = f (t). მექანიკური შენარჩუნება წარმოებული საშუალებას იძლევა მკაფიო ინტერპრეტაცია თეორემები დიფერენციალური აღრიცხვა.

როგორ მოვძებნოთ წარმოებული? დამდგენი წარმოებული ფუნქცია ეწოდება მისი დიფერენციაცია.

მოათავსეთ თქვენი მაგალითები, თუ როგორ უნდა მოვძებნოთ წარმოებული ფუნქცია:

წარმოებული მუდმივი ფუნქცია ნულის ტოლია; წარმოებული ფუნქცია y = x უდრის ერთიანობა.

და როგორ უნდა მოვძებნოთ წარმოებული ფრაქციას? ამისათვის, განიხილოს შემდეგი მასალა:

ნებისმიერი x0 <> 0 ჩვენ გვაქვს

y / x = -1 / x0 * (x + x)

არსებობს გარკვეული წესები, თუ როგორ უნდა მოვძებნოთ წარმოებული. კერძოდ:

თუ ფუნქცია A და B დიფერენცირებული წერტილი x0, მაშინ მათი თანხა დიფერენცირებულია ერთი წერტილი: (A + B) = A + B ". მარტივად რომ ვთქვათ, წარმოებული თანხას თანხა წარმოებულები. თუ ფუნქცია დიფერენცირებულია რაღაც მომენტში, მაშინ იგი უნდა ნამატი ნულოვანი როდესაც შემდეგ არგუმენტი ნულოვანი მოგების.

თუ ფუნქცია A და B დიფერენცირებული წერტილი x0, მაშინ მათი პროდუქტი დიფერენცირებული განთავსებულია: (A * B) '= A'B + AB. (ღირებულებები ფუნქციები და მათი წარმოებულები გამოითვლება იმ მომენტში, x0). თუ ფუნქცია A (x) დიფერენცირებულია წერტილი x0 და C - მუდმივი, მაშინ CA ფუნქცია დიფერენცირებული ამ ეტაპზე და (CA) '= CA ". რომ არის, მუდმივი ფაქტორი მიღებული გარეთ ნიშანია წარმოებული.

თუ ფუნქცია A და B დიფერენცირებული წერტილი x0 და ფუნქცია B არ არის ნულის ტოლია, მაშინ მათი თანაფარდობა ასევე დიფერენცირებული განთავსებულია: (A / B) = (A'B-AB) / B * B.