Euclid- ის მეხუთე პოსტულატი: ფორმულირება

ითვლება, რომ პირველი ადამიანის ცივილიზაცია 10,000 წლის წინ გამოჩნდა. ჩვენი პლანეტის ასაკთან შედარებით, რომელიც მეცნიერთა აზრით, დაახლოებით 4.54 მილიონი წლისაა, ეს მხოლოდ მოკლე მომენტია. ამ "მომენტში" კაცობრიობის გააკეთა უზარმაზარი ნახტომი საწყისი პრიმიტიული ქვის ინსტრუმენტები interplanetary spaceships. შეუძლებელი იქნებოდა, თუ დროდადრო პლანეტის გენიოსებზე არ იქნებოდა დაბადებული, მეცნიერების წინსვლა. მათ შორის, რა თქმა უნდა, არის Euclid. მისი ნამუშევრები საფუძველი და ძლიერი იმპულსი გახდა თანამედროვე მათემატიკის განვითარებისთვის.

ეს სტატია მიეძღვნა ევკლიდის მეხუთე პოსტულატს და მის ისტორიას.

როგორ გეომეტრია

ვინაიდან მიწის ნაკვეთები გაყიდა საგანი და იჯარით, მათი ზომა და ფართობი უნდა შეფასდეს, მათ შორის გათვლებით. გარდა ამისა, ასეთი გამოთვლები აუცილებელი იყო ფართომასშტაბიანი სტრუქტურების მშენებლობაში, ასევე სხვადასხვა ნივთის მოცულობის გაზომვის მიზნით. ეს ყველაფერი წინაპირობა იყო ეგვიპტეში და ბაბილონში 3-4 ათასწლეულის წინათ მიწის დაკვირვების ხელოვნების აღმოცენების მიზნით. ეს იყო ემპირიული და წარმოადგენდა რამდენიმე მტკიცებულების გარეშე რამდენიმე ასეული კონკრეტული პრობლემის გადაჭრის მაგალითები.

როგორც სისტემური მეცნიერება, გეომეტრია შემუშავდა ძველ საბერძნეთში. მესამე საუკუნეში არსებობდა ფაქტები და მტკიცებულებები. ამავდროულად, ამოცანა შეიქმნა უფრო ფართო გეომეტრიული მასალის შეგროვების მიზნით. იგი ცდილობდა შეეწყვიტა ჰიპოკრატე, Fediy და სხვა ძველი ბერძენი ფილოსოფოსები. თუმცა ლოგიკურად მორგებული სამეცნიერო სისტემა მხოლოდ 300 წ. ე "ელემენტების" გამოქვეყნებისთანავე.

ვინ იყო Euclid

ძველმა საბერძნეთმა მსოფლიოს უდიდესი ფილოსოფოსები და მეცნიერები მისცა. ერთ-ერთი მათგანია ეკლდიდი, რომელიც ალექსანდრიის მათემატიკის სკოლის დამფუძნებელი გახდა. პრაქტიკულად არაფერი ცნობილია თავად მეცნიერის შესახებ. ზოგიერთი წყაროდან მიუთითებს, რომ ახალგაზრდობაში თანამედროვე გეომეტრიის მომავალი მამა ათენში პლოტის ცნობილი სკოლაა და შემდეგ დაბრუნდა ალექსანდრიაში, სადაც მან განაგრძო მათემატიკა და ოპტიკა და ასევე დაწერა მუსიკა. თავის მშობლიურ ქალაქში დაარსდა სკოლა, სადაც თავის სტუდენტებთან ერთად მან შექმნა თავისი ცნობილი ნამუშევარი, რომელიც ორი ათასწლეულის მანძილზე არის საფუძველი ნებისმიერი სახელმძღვანელოს გეგმაზე და სტერეომეტრიაში.

ევკლიდეს "გემო"

გეომეტრიის ძირითად და პირველ ყველაზე სისტემურ სამუშაოს შედგება 13 ტომი. პირველი ოთხი და ექვსი წიგნი გულისხმობს პლამიმეტრიას, ხოლო მე -11, მე -12 და მე -13 სტერეომეტრია. რაც შეეხება დარჩენილი ტომი, ისინი მიეძღვნება არითმეტიკას, რომელიც მოცემულია გეომეტრიული პოსტულატების თვალსაზრისით.

მათემატიკური მეცნიერებების შემდგომ განვითარებაში ევკლიდის ძირითადი მუშაობის როლი არ შეიძლება გადაჭარბებული იყოს. რამდენიმე პაპირუსი ჩამოთვლილია თავდაპირველი და ბიზანტიური ხელნაწერებიდან.

შუა საუკუნეებში, ევკლიდის "ელემენტებს" სწავლობდნენ ძირითადად არაბები, რომლებიც მიიჩნევდნენ, რომ ისინი ადამიანის აზროვნების ერთ-ერთ ყველაზე დიდ ნამუშევარს განიხილავდნენ და მეცნიერი თავად დამასკოს მკვიდრი იყო. მოგვიანებით ეს სამუშაოები ევროპელებს დაინტერესდა. ბეჭდვის, მეცნიერების, ეკუმკეტის გეომეტრიის ჩათვლით, შეჩერდა მხოლოდ არჩეული პირის ქონება. 1533 წელს პირველი გამოცემის შემდეგ, "ელემენტები" ხელმისაწვდომი გახდა ყველასთვის, ვისაც სურს იცოდეს მსოფლიო და ყოველ წელს უფრო და უფრო მეტი გახდა. მოთხოვნა ითხოვდა წინადადებას, ამიტომ ითვლება, რომ ეს ნამუშევარი მეორეა ყველაზე გავრცელებული ძველ უბნებზე ბიბლიის შემდეგ.

ზოგიერთი ფუნქცია

"დასაწყისი" აღწერს სამგანზომილებიანი, ცარიელი, უსასრულო და იზოტროპული სივრცის მეტრულ თვისებებს, რომელსაც საყოველთაოდ უწოდებენ ევკლიდეანს. ის ითვლება არენაზე, სადაც ხდება გალილეო და ნიუტონის კლასიკური ფიზიკის ფენომენი.

Euclid- ის თანახმად, ელემენტარული გეომეტრიული ობიექტი არის წერტილი. მეორე მნიშვნელოვანი კონცეფცია არის სივრცის infinity, რომელიც ხასიათდება პირველი სამი პოსტულატებით. მეოთხე ეხება უფლება კუთხეს თანასწორობას. რაც შეეხება Euclid- ს მეხუთე პოსტულატს, ის არის ის, ვინც განსაზღვრავს ევკლიდეანის სივრცის თვისებებს და გეომეტრიას.

მეცნიერთა აზრით, კლასიკური გეომეტრიის მამამ შექმნა შესანიშნავი წიგნი, რომლის შესწავლაც მასალის გაუგებრობა გამორიცხულია იმის გამო, რომ ის წარმოდგენილია. კერძოდ, "დასაწყისი" თითოეული მოცულობა იწყება პირველად კონცეფციის განსაზღვრით. კერძოდ, პირველი წიგნის პირველი გვერდებიდან მკითხველი გაიგებს რა წერტილს, ხაზს, ხაზს და ა.შ. საერთო ჯამში, ამ ფუნდამენტურ ნაწარმოებში წარმოდგენილი მასალის ძირითადი ნაწილის გასაგებად საჭიროა 23 განსაზღვრება.

ეკიმი და ეუკლიდის პირველი ოთხი პოსტულატი

განმარტებების შემდეგ, "ნაჩალის" ავტორი ციტირებს წინადადებებს, რომლებიც მიიღება მტკიცებულების გარეშე. ისინი იყოფა ისინი axioms და პოსტულატები. პირველი ჯგუფი შედგება 11 განცხადებისგან, რომლებიც ინტუიციურად ცნობენ ადამიანს. მაგალითად, მე -8 აქსიომა აღნიშნა, რომ მთელი ნაწილი უფრო მეტია, ვიდრე ნაწილი, ხოლო პირველი, ორი რიცხვი, რომელიც ცალკე ტოლია მესამეა.

გარდა ამისა, ევკლიდი 5 პოსტულატს აძლევს. პირველი ოთხი კითხვა:

• ნებისმიერ წერტილს ნებისმიერ სხვა საშუალებას იძლევა სწორი ხაზი;
• ნებისმიერი რადიუსის ნებისმიერ ცენტრში შესაძლებელია აღწეროს წრე;
• შემოხაზული ხაზი შეიძლება გაგრძელდეს პირდაპირი ხაზის გასწვრივ;
• ყველა კუთხე არის თანაბარი.

ევკლიდის მეხუთე პოსტულატი

ორი ათწლეულის მანძილზე ეს განცხადება არაერთხელ გახდება მათემატიკოსთა მჭიდრო ყურადღების ობიექტი. თუმცა, პირველ რიგში, გავეცნოთ ევკლიდის მეხუთე პოსტულატის შინაარსს. ასე რომ, თანამედროვე ფორმულირებაში, ეს ასე ჟღერს: თუ თვითმფრინავზე ორი სწორი ხაზის კვეთა, ერთ მხარეს შიდა კუთხის მესამე თანხა 180 ° -ზე ნაკლებია, მაშინ ეს ხაზები უფრო ადრე იწყება, ანუ იმ მხარეს, რომელთანაც ეს ღირებულება (თანხა) 180 ° -ზე ნაკლებია.

Euclid- ის მეხუთე პოსტულატი, რომლის ფორმულირება სხვადასხვა წყაროებში განსხვავებულია, თავიდანვე დაიწყო სპორტისა და სურვილი თეორიის კატეგორიაში თარგმნა კარგად დასაბუთებული მტკიცებულებით. სხვათა შორის, ის ხშირად იცვლება სხვა გამოხატულებით, რომელიც რეალურად გამოიხატა პროკლეს მიერ და ცნობილია როგორც Playfair- ის ღერძი. ის ამბობს: თვითმფრინავზე, რომელიც არ ეკუთვნის მოცემულ ხაზს, შესაძლებელია ერთი და იგივე ერთი ხაზის პარალელურად მიაპყროს ეს.

ფორმულები

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ბევრმა მეცნიერმა სცადა განსხვავებულად გამოეხატა ევკლიდის მე -5 პოსტულატის იდეა. ბევრი ფორმულირებები საკმაოდ აშკარაა. მაგალითად:

• სწორი ხაზების დაახლოება;
• არსებობს მინიმუმ ერთი ოთხკუთხედი, ანუ 4-გონი ოთხკუთხა კუთხით;
• თითოეული ფიგურა შეიძლება პროპორციულად გაიზარდოს;
• არსებობს სამკუთხედი, რომელსაც ნებისმიერი ზომის ფართობი აქვს, რაც თვითნებურად დიდია.

უარყოფითი მხარეები

Euclid- ის გეომეტრია გახდა ანტიკური ხანის უდიდესი მათემატიკური მუშაობა და მე -19 საუკუნეში, მათემატიკასთან ერთად მეფობდა მემკვიდრეობა. მიუხედავად ამისა, ზოგიერთი მისი ხარვეზები ავტორის თანამედროვეებმა და უძველესმა ბერძენმა მკვლევარებმა აღნიშნეს, რომლებიც ცოტა ხნის შემდეგ ცხოვრობდნენ. კერძოდ, არქიმედიმ დაამატა ახალი ასიომი, რომელსაც მას სახელი დაერქვა. ნათქვამია: ნებისმიერი სეგმენტისთვის AB და CD არსებობს ბუნებრივი რიცხვი n, რომ n · [AB]> [CD].

გარდა ამისა, მეცნიერები ცდილობდნენ შეამცირონ Euclidean პოსტულატებისა და ასიმიმების სისტემა. ამის გაკეთება, მათ დანარჩენი მათგანმა მოიყვანა.

ასე რომ შესაძლებელი იყო მე -4 პოსტულატის "მოშორება" მარჯვენა კუთხის თანასწორობის შესახებ. მისთვის მკაცრი მტკიცებულება იქნა ნაპოვნი, რამაც მას თეორეტიკოსი ჰყავდა.

მე -5 პოსტულატის ისტორია ანტიკურ და ადრეულ შუა საუკუნეებში

Euclid- ის გეომეტრიის ამ განცხადების კლასიკური ფორმულირება ბევრად ნაკლებად ცხადია, ვიდრე დანარჩენი ოთხი. ეს იყო ეს გარემოება, რომელმაც არ გამოიღო მათემატიკოსები.

Euclid- ის მეხუთე პოსტულატის დაბრკოლება იყო ორი სწორი ხაზის პარალელიზმის ზუსტად განსაზღვრა და ბ, რომელიც აღნიშნავს, რომ ორი ცალმხრივი კუთხის ჯამი, რომელიც ჩამოყალიბებულია ბ და მესამე ხაზის კვეთით, 180 გრადუსია.

პირველი მცდელობა, რომ ეს თეორიულად დაამტკიცოს, უძველესი ბერძნული გეომეტრი Posidonius. მან შესთავაზა, რომ თავდაპირველი თვითმფრინავიდან ერთი და იგივე დაშორებით თვითმფრინავზე ყველა პუნქტის ჩამოყალიბება ჩაითვალოს მოცემული პარალელურად. თუმცა, ეს კი არ დაუშვა პოციდონიამ მე -5 პოსტულატის დასადასტურებლად.

სხვა მათემატიკოსთა მცდელობები, მათ შორის შუასაუკუნეების პირობა, როგორიცაა იბნ კორასა და ჰაიამის არაბები, არაფერს არ მოჰყოლია. ერთადერთი, რაც მიღწეულია, არის ახალი პოსტულატების წარმოქმნა, რომლებიც დადასტურებულია სხვადასხვა დაშვებების გათვალისწინებით.

18-19 საუკუნეებში

მე -18 საუკუნეში კლასიკური გეომეტრია განაგრძო მათემატიკოსები. კერძოდ, ფრანგი მათემატიკოსი ა. ლეგენდა შეძლო მიუახლოვდა ევკლიდეან პარალელიზმის ასიმიმის მტკიცებულებას. მის კალთას ეკუთვნის "გეომეტრიის დასაწყისი", რომელიც დაახლოებით 150 წელი იყო რუსეთის იმპერიის სკოლებში მათემატიკის სწავლებისთვის. მასში მეცნიერმა პარალელიზმის ევკლიდეანის აქსიომის სამი ვარიანტი მისცა, მაგრამ ყველა მათგანი არასწორი აღმოჩნდა.

მე -19 საუკუნის დასაწყისში წარმოიქმნა არა-ეკლდედის გეომეტრიის შექმნის იდეა. სისტემის პირველი აღწერა, რომელიც არ არის დამოკიდებული მეხუთე პოსტულატზე, სამხედრო ინჟინერმა ჯ. მაგრამ მან თავად შეშინებული მისი აღმოჩენა და ამ იდეას არ განუვითარებია, მიმაჩნია, რომ ეს არასწორია. დიდი გერმანელი მათემატიკოსი კ. გუუსი ვერ შეძლო წარმატების მისაღწევად.

გარღვევა

2000 წელზე მეტია, Euclid- ის მეხუთე პოსტულატი, რომლის საფუძველზეც ასობით მეცნიერი ცდილობდა იპოვონ, მათემატიკაში ნომერ პირველი პრობლემა იყო. გარღვევა მოხდა რუსეთის მათემატიკოსი NI ლობჩოვსკის მიერ. ის იყო პირველი სამყარო, რომ აღწეროს რეალური სივრცის თვისებები, რომელიც ადასტურებს, რომ Euclid- ის გეომეტრია "მუშაობს" მხოლოდ მისი სისტემის კონკრეტულ შემთხვევაში.

NI Lobachevsky თავდაპირველად მოჰყვა იგივე გზა, როგორც მისი კოლეგები. მე -5 პოსტულატის დამტკიცების მცდელობა, ის ვერ შეძლო. მაშინ მეცნიერმა უარი თქვა ევკლიდეურ მოსაზრებაზე, რომლის მიხედვითაც სამკუთხედის კუთხე 180 გრადუსია. გარდა ამისა, მან დაიწყო დაამტკიცოს ეს მტკიცება პირიქით და მიიღო ფორმულირება მეხუთე პოსტულატისთვის. ახლა მან დაშვებული არსებობა რამდენიმე პარალელურად პარალელურად მოცემული, და გავლით წერტილი lying ამ ხაზის.

ახალი გეომეტრია

არ არის აზრი, რომ ვისაუბრო უფრო მეტი მათემატიკურ მეცნიერებაში. ევკიდისა და ლობჩოვსკის როლი შედარებულია გავლენით ნიუტონსა და აინშტაინის ფიზიკის ფორმირებასა და განვითარებაზე. ამავე დროს, ახალი, აბსოლუტური გეომეტრია გვაძლევდა განვსაზღვროთ სივრცის კონცეფცია, რომელიც კლასიკური მეთოდისგან განცალკევებულია "მე შემიძლია მხოლოდ გავიგოთ რა შემიძლია გავზომოთ." მაგრამ ეს არის მიდგომა, რომელიც მრავალი ათასწლეულის მანძილზე მეცნიერებაშია შემუშავებული.

სამწუხაროდ, ლობჩოვსკის გეომეტრიის იდეები არ ყოფილა აღიარებული და გაგებული თანამედროვენით. კერძოდ, მისი მოსწავლეები არ გააგრძელებდნენ მეცნიერის მუშაობას, ხოლო არაქართულენოვანი გეომეტრიის განვითარება რამდენიმე ათეული წლის განმავლობაში გადაიდო.

ლობჩოვსკის თეორიის ზოგიერთი თავისებურება

ახალი გეომეტრიის გასაგებად, ჩვენ უნდა განვიხილოთ კოსმოსური უსასრულობა. მართლაც, ძნელი წარმოსადგენია, რომ უსაზღვრო სამყარო რექტლინალური სივრცის ჯამია.

ლობჩოვსკის გეომეტრია გამოიყენება გრავიტაციული ტერმინების გრავიტაციული ველების მიერ წარმოქმნილი curvilinear ფართები. მან დაშვებული გადაადგილების მეთოდიდან ყველა ფიგურის შემცირება "დაახლოებით უფლება" ცილინდრიანი, წრე, პირამიდა, ან ამ ციფრების თვითნებური კომბინაცია. ყოველივე ამის შემდეგ, მაგალითად, ჩვენი პლანეტა სინამდვილეში არ არის სფერო, მაგრამ გეიიდი, ანუ ის ფიგურა, რომელიც მოპოვებულია დედამიწის ლითოსფეროს (მყარი ჭურვი) გარე კონტურზე.

სინამდვილეში, არსებობს სამყაროს მრგვალენური სივრცის ანალოგი, რომელიც საშუალებას იძლევა წარმოაჩინოს რამდენიმე პირდაპირი პარალელური არსებობის არსებობის შესაძლებლობა ერთი პუნქტიდან. კერძოდ, ეს სამი სახეობის ზედაპირებია, რომლებიც გამოირჩევიან იტალიური გეომეტრიით ე. ბელტრამით და ფსევდოშევრით.

ლობჩოვსკის თეორიის შემდგომი განვითარება

გამოჩენილი რუსი არ იყო ერთადერთი, ვინც ვარაუდობდა, რომ ევკლიდეანის გეომეტრია აბსოლუტური არ არის. კერძოდ, მათემატიკოსმა ბ. რიმენმა 1854 წელს შეიმუშავა ნულოვანი, დადებითი და უარყოფითი მრუდის სივრცის არსებობის შესაძლებლობა. ეს იმას ნიშნავდა, რომ შესაძლებელია სხვადასხვა არაკლასიკური გეომეტრიის უსასრულო რაოდენობის შექმნა.

B. Riemann- ის პოზიციიდან, რომელიც ძირითადად სივრცეებს სწავლობდა დადებითი მრჩება, Euclid- ის მე -5 პოსტულატი საკმაოდ მოულოდნელად გამოიყურება. მისი იდეების მიხედვით, არც ერთი სწორი ხაზი არ შედის ამ ხაზის ფარგლებს გარეთ, რაც ამ პარალელურად არის.

მდგომარეობა სრულიად განსხვავებულია ნულოვანი, უარყოფითი და პოზიტიური მრუდის სივრცეებით კლაინის თეორიის მიხედვით. კერძოდ, პირველ შემთხვევაში ისინი აღწერენ პარაბოლურ გეომეტრიას, რომელთა განსაკუთრებულ შემთხვევაში კლასიკურია, მეორე შემთხვევაში ისინი ემორჩილებიან ლობჩოვსკის იდეებს, ხოლო მესამეში შეესაბამება რიმანის მიერ აღწერილი თვისებები.

ალბერტ აინშტეინის ფარდობითობის თეორიის გამოქვეყნების შემდეგ ასეთ სივრცეთა კონცეფციები დაემატა იმ მონაცემებს, რომლებიც ითვალისწინებდნენ ოთხი ურთიერთდამოკიდებულების და შეცვლის ზომების არსებობას - მასობრივი, ენერგეტიკის, სიჩქარისა და დროის მიხედვით.

პრაქტიკაში

თუ გადავდივართ სივრცის ადამიანის აღქმაში, მაშინ გიგანტური სამკუთხედის ხმელეთის ორბიტაზე, კლასიკური 180 გრადუსიდან შიდა კუთხეების უმსხვილესი შესაძლო გადახრა არის მხოლოდ ოთხი მილიონით მეორე. ასეთი ღირებულება ჰომოფატების შესაძლებლობების მიღმაა, ამიტომ ევკლიდის გეომეტრია ითხოვს "მიწიერ" ადამიანებს.

ის რჩება ლოდინისთვის შექმნილ პირობებზე, რაც შესაძლებელს გახდის ექსპერიმენტული მონაცემების მიღებას, რომელიც დაადასტურებს ან უარყოფს ნ. ლობჩოვსკისა და ბ. რიმანის თეორიებს Galaxy- ის მასშტაბით.

ახლა იცით, რომ ევკლიდის მეხუთე პოსტულატი და მისი ისტორია, რომელიც ძალიან სასწავლოა და საშუალებას მოგცემთ მოიძიოთ ადამიანის აზროვნების ევოლუცია ბოლო 2300 წლის განმავლობაში.