Ფურიეს: ისტორია და გავლენა მათემატიკური მექანიზმი მეცნიერების განვითარების

ფურიეს - ეს მოსაზრება თვითნებურად შერჩეული ფუნქციების პერიოდში in a row. ზოგადად, ეს გამოსავალი ეწოდება გაფართოებას ელემენტს წლის ორთოგონალური საფუძველზე. გაფართოებას ფუნქციების ფურიეს არის საკმაოდ მძლავრი იარაღია გადაჭრის სხვადასხვა პრობლემების გამო თვისებები ტრანსფორმაციის ინტეგრაციის, დიფერენციაცია, ისევე როგორც ცვლილებაზე არგუმენტი გამოხატვისა და convolution.

პირი, რომელიც არ იცნობს უმაღლესი მათემატიკის, ისევე როგორც სამუშაოები ფრანგმა მეცნიერმა ფურიეს, სავარაუდოდ, არ მესმის, რა "რიგებში" და რას აკეთებს. მიუხედავად ამისა, ამ ტრანსფორმაციის საკმაოდ მტკიცედ შევიდა ჩვენი ცხოვრება. იგი გამოიყენება არა მხოლოდ მათემატიკის, არამედ ფიზიკოსები, ქიმიკოსები, ექიმები, ასტრონომები, სეისმოლოგების, oceanographers და სხვები. მოდით უფრო ახლოს სამუშაოები დიდი ფრანგი მეცნიერი, რომელმაც გააკეთა აღმოჩენა, უსწრებს თავის დროს.

კაცი და ფურიეს გარდაქმნა

ფურიეს არის ერთ-ერთი მეთოდი (ერთად ანალიზი და სხვ) of ფურიეს გარდაქმნა. ეს პროცესი ხდება ყოველ დროს პირი ესმის ნებისმიერი ხმა. ჩვენი ყური ავტომატურად აკონვერტებს ხმის ტალღა. ოსცილაციური მოძრაობა ელემენტარულ ნაწილაკთა ელასტიური საშუალო გაფართოვდა სერია (სპექტრი) თანმიმდევრული მოცულობა ღირებულებების ტონა სხვადასხვა სიმაღლეებზე. შემდეგი, ტვინის გარდაქმნის ამ მონაცემების ნაცნობი ხმები ჩვენთვის. ეს ყველაფერი გარდა ჩვენი სურვილი და ცნობიერების, არამედ იმისათვის, რომ გავიგოთ იმ პროცესებს, რომელიც რამდენიმე წლის განმავლობაში შესწავლა უმაღლესი მათემატიკა.

დაწვრილებით შესახებ ფურიეს გარდაქმნა

ფურიეს გარდაქმნა შეიძლება განხორციელდეს ანალიტიკური, ციფრებით და სხვა მეთოდები. ფურიეს არიან ციფრების პროცესი იშლება ნებისმიერი oscillatory პროცესები - ოკეანის tides და ტალღების შუქი მზის ციკლები (და სხვა ასტრონომიული ობიექტები) საქმიანობაში. გამოყენება ამ მათემატიკური ტექნიკის, შესაძლებელია დაიშალა ფუნქცია, რომელიც წარმოადგენს რაიმე oscillatory პროცესების რიგი sinusoidal კომპონენტები რომ წავიდეთ მინიმალური, მაქსიმალური და პირიქით. ფურიეს გარდაქმნა არის ფუნქცია, რომელიც აღწერს ეტაპი და ამპლიტუდა sinusoids შესაბამისი კონკრეტული სიხშირე. ეს პროცესი შეიძლება გამოყენებულ იქნას საქმე ძალიან რთული განტოლებები რომლებიც აღწერს დინამიური პროცესების მოქმედების გამო სითბოს, სინათლის და ელექტრო ენერგია. გარდა ამისა, ფურიეს გამოიყენება გამოირჩეოდნენ DC კომპონენტების კომპლექსი waveforms, შესაძლებელი გახადა, რომ სწორი ინტერპრეტაცია ექსპერიმენტული დაკვირვების მედიცინა, ქიმია და ასტრონომია.

ისტორიული ინფორმაცია

დამფუძნებელი მამა ეს თეორია არის ფრანგი მათემატიკოსი Zhan Batist Zhozef Fure. მისი სახელი შემდეგ და ამ ტრანსფორმაციის ეწოდა. თავდაპირველად, მეცნიერები გამოიყენება ტექნიკის შესწავლა და განმარტავენ მექანიზმების თბოგამტარობა - სითბოს გავრცელების მყარი. ფურიეს ვარაუდობს, რომ საწყის არალეგალური გავრცელების თერმული ტალღა შეიძლება დაიშალა შევიდა მარტივი sinusoid, რომელთაგან თითოეული ექნება მისი ტემპერატურა მინიმალური და მაქსიმალური, ისევე როგორც მისი ეტაპი. შესაბამისად, თითოეული ასეთი კომპონენტი უნდა იქნას მინიმალური მაქსიმალური და პირიქით. მათემატიკური ფუნქცია, რომელიც ასახავს ზედა და ქვედა მწვერვალები მრუდი, ისევე როგორც ფაზისთვის ჰარმონიული, მოუწოდა ფურიეს გარდაქმნა ტემპერატურის განაწილების გამოხატვის. ავტორი თეორია შემცირებული განაწილების ფუნქცია, რომ ძნელია მათემატიკური აღწერა, ძალიან ადვილად უმკლავდება რიგი პერიოდული ფუნქციები sine და cosine, თანხის გაცემის საწყის განაწილება.

პრინციპი კონვერტაციის და შეხედულებები თანამედროვენი

თანამედროვენი მეცნიერი - წამყვანი მათემატიკოსები მეცხრამეტე საუკუნის დასაწყისში - არ მიიღოს ეს თეორია. მთავარი წინააღმდეგი არ იყო დამტკიცების ფურიეს რომ პერიოდული ფუნქცია აღწერს სწორი ხაზის ან მრუდი არის მოწყვეტილი, ეს შეიძლება იყოს წარმოდგენილი თანხა sinusoidal გამოთქმები, რომლებიც უწყვეტი. მაგალითად, განიხილოს "ნაბიჯი" Heaviside: მისი ღირებულება ნულია, მარცხენა უფსკრული და ერთი მარჯვენა. ეს ფუნქცია აღწერს დამოკიდებულებას დენის დროს ცვლადი დახურვის ჯაჭვი. თანამედროვე თეორია იმ დროს, არასდროს შეექმნა ისეთი სიტუაცია, როდესაც წყვეტილ გამოხატვის იქნება აღწერილი კომბინაცია უწყვეტი, საერთო ფუნქციები, როგორიცაა exponential, sine, სწორხაზოვანი ან კვადრატული.

რა აწუხებს საფრანგეთის მათემატიკოსები თეორია ფურიეს?

ყოველივე ამის შემდეგ, თუ მათემატიკოსი იყო სწორი, რომ ამტკიცებენ, მაშინ, შემაჯამებელი უსასრულო ტრიგონომეტრიული მწკრივების, შესაძლებელია მიიღოს ზუსტი წარმომადგენლობა ნაბიჯი გამოხატვის, მაშინაც კი, თუ მას აქვს მითითებული მსგავსი ნაბიჯები. In მეცხრამეტე საუკუნის დასაწყისში, ეს განცხადება, როგორც ჩანს, აბსურდია. მაგრამ მიუხედავად ყველა ეჭვი, ბევრი მათემატიკოსები არ გაფართოვდა ფარგლებს შესწავლა ამ მოვლენას, მოძრავი მიღმა თერმული ჩატარების კვლევები. თუმცა, მეცნიერები გააგრძელა განიცდიან შეკითხვა: "შეიძლება თანხა sine ტალღა სერია დაახლოების ზუსტი ღირებულება წყვეტილ ფუნქციას?"

დაახლოების ფურიეს: მაგალითად

საკითხი დაახლოების იზრდება ყოველ ჯერზე თქვენ უნდა summation უსასრულო რიგი ნომრები. განიხილოს კლასიკური მაგალითი იმ აზრს, ამ მოვლენას. შეიძლება ოდესმე მიაღწიოს კედლის, თუ ყოველი ნაბიჯი არის ნახევარში წინა? დავუშვათ, რომ თქვენ ორი მეტრში მიზანია, პირველი ნაბიჯი ახლოს დაახლოებით ნახევარი გზა, შემდეგ - ნიშნის ერთი სამი მეოთხედი, და შემდეგ მეხუთე, თქვენ გადავლახავთ თითქმის 97 პროცენტი გზა. თუმცა, არ აქვს მნიშვნელობა, რამდენი ნაბიჯები თქვენ გაკეთდეს არც, განკუთვნილი სამიზნე თქვენ მიღწევა მკაცრი მათემატიკური თვალსაზრისით. გამოყენება რიცხვითი გამოთვლები, შეგვიძლია დავამტკიცოთ, რომ ბოლოს შეიძლება უფრო ახლოს თვითნებურად პატარა მოცემული მანძილი. ეს უდრის მტკიცებულება იმის დემონსტრირებას, რომ საერთო ღირებულება ერთი ნახევარი, მეოთხე და ასე შემდეგ. E. ტენდენცია ერთიანობა.

საკითხი კონვერგენცია: მეორე მოდის, ან ინსტრუმენტის Lord Kelvin

არაერთხელ წამოიჭრა გვიან მეცხრამეტე საუკუნეში, როდესაც ფურიეს ცდილობდა გამოიყენოთ პროგნოზირება ინტენსივობის ebbs და მიედინება. ამავე დროს, Lord Kelvin გამოიგონეს მოწყობილობა ანალოგური კომპიუტერი, რომელიც დაშვებული მეზღვაურებს საზღვაო და საზღვაო ვაჭრობის მონიტორი არის ბუნებრივი მოვლენაა. ეს მექანიზმი განსაზღვრული ფაზის და amplitudes მაგიდა სიმაღლე tides და შესაბამის დროს მომენტები, ყურადღებით იზომება პორტში მთელი წლის განმავლობაში. ყოველი პარამეტრი არის სინუსოიდალური კომპონენტი გამოხატვის ტალღა სიმაღლეებზე და ერთ-ერთი მორიგი კომპონენტები. გაზომვის შედეგები შეყვანის კომპიუტერული მოწყობილობის Lord Kelvin, ერწყმის მრუდი, რომელიც წინასწარმეტყველებს სიმაღლე წყალი როგორც ფუნქცია მომდევნო წელს. ძალიან მალე, ამ მოსახვევებში იქნა შედგენილი ყველა ნავსადგურები მსოფლიოში.

და თუ პროცესი იქნება გატეხილი პერიოდული ფუნქცია?

ამავე დროს, როგორც ჩანს, აშკარაა, რომ მოწყობილობა წინასწარმეტყველებდნენ მოქცევითი ტალღა, ბევრი ელემენტები ანგარიშზე შეგიძლიათ გამოთვალოთ დიდი რაოდენობით ფაზის და amplitudes, და ასე უფრო ზუსტი პროგნოზი. მიუხედავად ამისა, აღმოჩნდა, რომ ეს ნიმუში არ შეინიშნება იმ შემთხვევებში, როდესაც მოქცევის გამოხატვის, რომ იქნება სინთეზირებული, შეიცავს მკვეთრი ნახტომი, რომ არის, არიან პერიოდული. იმ შემთხვევაში, თუ აპარატში შესვლის მონაცემები მაგიდასთან დრო ქულა, იგი ითვლის რამდენიმე ფურიეს კოეფიციენტები. აღდგენა ორიგინალური ფუნქცია გამო sinusoidal კომპონენტი (შესაბამისად გამოჩენას კოეფიციენტები). განსხვავება ორიგინალური და განახლებული გამოხატვის შეიძლება გაიზომოს ნებისმიერ წერტილში. როდესაც განმეორებითი გათვლები და შედარებები შეიძლება ჩანს, რომ ღირებულება უდიდესი შეცდომა არ მცირდება. თუმცა, ისინი ლოკალიზებულია რეგიონში შესაბამისი წერტილი რღვევის და ნებისმიერი სხვა თვალსაზრისით, როგორც წესი, ნულის ტოლია. 1899 წელს, ეს შედეგი დადასტურდა თეორიულად Joshua Willard Gibbs იელის უნივერსიტეტი.

დაახლოების ფურიეს და განვითარების მათემატიკის, როგორც მთელი

ფურიეს ანალიზი არ ვრცელდება გამონათქვამების შემცველი უსასრულო რაოდენობის bursts გარკვეული ინტერვალით. ზოგადად ფურიეს, თუ თავდაპირველ ფუნქციას წარმოდგენილია შედეგად ფიზიკური გაზომვები, ყოველთვის გადავიდეს. კითხვები დაახლოების ეს პროცესი კონკრეტული კლასების ფუნქციები არ გამოიწვია ახალი ფილიალის მათემატიკის, როგორიცაა თეორია განზოგადებული ფუნქციები. ეს უკავშირდება სახელები, როგორიცაა შვარცი, J .. Mikusiński და ჯ ტაძარი. ამ თეორიის მიხედვით, ნათელი და ზუსტი თეორიული საფუძველი ასეთი გამოხატვის უკვე ჩამოყალიბდა როგორც Dirac დელტა ფუნქცია (ის აღწერს რეგიონში ერთ სფეროში კონცენტრირებული უსასრულოდ სამეზობლოში წერტილი) და "ნაბიჯი" Heaviside. ამ სამუშაოს ფურიეს გახდა მოქმედი გადაჭრის განტოლებები და პრობლემები, რომელიც ჩართვას ინტუიციური კონცეფციები: წერტილი ბრალდებით, მასობრივი წერტილი, მაგნიტური dipoles და კონცენტრირებული დატვირთვის სხივი.

ფურიეს მეთოდი

ფურიეს, ამ პრინციპების შესაბამისად ჩარევის, დაიწყოს რღვევა რთული ფორმები მარტივია. მაგალითად, ცვლილება სითბოს ნაკადი გამო თავის გავლის მეშვეობით სხვადასხვა ბარიერები სითბოს საიზოლაციო მასალა არარეგულარული ფორმის ან იცვლება მიწის ზედაპირზე - მიწისძვრა, ცვლილება ორბიტაზე ციურ სხეულზე - გავლენის პლანეტები. როგორც წესი, ეს განტოლებები სადაც აღწერილია მარტივი კლასიკური სისტემის ელემენტარული გადაწყდება თითოეული ტალღის სიგრძე. ფურიეს აჩვენა, რომ მარტივი გადაწყვეტილებები შეიძლება შეაჯამა როგორც უფრო რთული ამოცანები. ენაზე მათემატიკა, ფურიეს - მეთოდოლოგიას წარდგენის გამოხატვის თანხა ჰარმონიული - კოსინუსი და sine ტალღა. აქედან გამომდინარე, ამ ანალიზის ასევე ცნობილია სახელწოდებით "ჰარმონიული ანალიზი".

ფურიეს - იდეალური მეთოდი "კომპიუტერული ასაკში"

მანამდე შექმნის კომპიუტერული ტექნიკა ფურიეს მეთოდი არის საუკეთესო იარაღი არსენალში მეცნიერები მუშაობენ ტალღა ბუნება ჩვენი სამყაროს. ფურიეს კომპლექსური ფორმა საშუალებას გაძლევთ არა მხოლოდ გადაწყვიტოს მარტივი პრობლემები, რომლებიც ემორჩილებიან პირდაპირი გამოყენების ნიუტონის კანონები მექანიკის, არამედ ფუნდამენტური განტოლებები. ყველაზე აღმოჩენები ნიუტონის მეცნიერების მეცხრამეტე საუკუნის შესაძლებელი გახდა მხოლოდ იმის გამო, რომ ფურიეს მეთოდი.

ფურიეს დღეს

განვითარებასთან ერთად ფურიეს გარდაქმნა კომპიუტერები გაიზარდა ახალ დონეზე. ეს ტექნიკა მყარად ინარჩუნებს თითქმის ყველა დარგში მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების. მაგალითად, ციფრული აუდიო და ვიდეო. მისი განხორციელება უკვე შესაძლებელია მხოლოდ წყალობით თეორიის მიერ შემუშავებული ფრანგი მათემატიკოსი, რომ მეცხრამეტე საუკუნის დასაწყისში. ამდენად, ფურიეს მწკრივების რთული ფორმა მისცა, რათა გარღვევა შესწავლა გარე სამყაროსთან. გარდა ამისა, იგი შეეხო შესწავლა ფიზიკის ნახევარგამტარული მასალების და პლაზმაში, მიკროტალღური აკუსტიკა, ოკეანოგრაფიული, რადარი, სეისმური.

ტრიგონომეტრიული მწკრივების

მათემატიკაში ფურიეს არის გზა წარმოადგენს თვითნებური კომპლექსური ფუნქციები, როგორც თანხა მარტივია. ზოგადად შემთხვევაში, რაოდენობის გამონათქვამები შეიძლება იყოს უსასრულო. უფრო დიდი რაოდენობის დათვლა გაანგარიშება, უფრო ზუსტი საბოლოო შედეგი არის მიღებული. ყველაზე გავრცელებული გამოყენების მარტივი ტრიგონომეტრიული კოსინუსი და sine ფუნქცია. ამ შემთხვევაში, ფურიეს ეწოდება ტრიგონომეტრიული და გადაწყვეტილება ასეთი გამონათქვამები - ჰარმონიული რღვევა. ეს მეთოდი მნიშვნელოვან როლს თამაშობს მათემატიკაში. პირველ რიგში, ტრიგონომეტრიული სერია უზრუნველყოფს საშუალება იმიჯი, ასევე სასწავლო ფუნქციები, ეს არის მთავარი სამმართველოს თეორია. გარდა ამისა, იგი საშუალებას გვაძლევს გადაწყვიტოს მთელი რიგი პრობლემების მათემატიკური ფიზიკა. და ბოლოს, ამ თეორიას ხელი შეუწყო განვითარების მათემატიკური ანალიზი, მას მისცა წარმოშობს რამდენიმე ძალიან მნიშვნელოვანი დარგები მათემატიკური მეცნიერება (თეორია ინტეგრალები, თეორია პერიოდული ფუნქციები). გარდა ამისა, ამოსავალი წერტილი განვითარების შემდეგ თეორიები: კომპლექტი, ფუნქციები რეალური ცვლადი, ფუნქციური ანალიზი, და ასევე საფუძველი ჩაუყარა ჰარმონიული ანალიზი.