Ლოგიკური ალგებრა. ალგებრა ლოგიკა. ელემენტები მათემატიკური ლოგიკა

დღევანდელ მსოფლიოში, ჩვენ უფრო გამოყენებით სხვადასხვა მანქანები და გაჯეტები. და არა მხოლოდ მაშინ, როდესაც ეს აუცილებელია მიმართოს ფაქტიურად ზეადამიანური ძალა: გადაადგილება დატვირთვის დააყენოს ის სიმაღლე, იჭრება ხანგრძლივი და ღრმა ორმოს და ა.შ. Cars დღეს შეაგროვოს რობოტები, საკვები მოხარშული Multivarki და ელემენტარული არითმეტიკული გაანგარიშებით აწარმოოს კალკულატორები ... უფრო და უფრო ხშირად ისმის ფრაზა "ლოგიკური algebra". ალბათ დადგა დრო, რომ გავიგოთ როლი ადამიანის შექმნას რობოტები და მანქანები უნარი გადაწყვიტოს არა მხოლოდ მათემატიკური, არამედ ლოგიკური პრობლემები.

ლოგიკა

ბერძნულ ლოგიკა - უბრძანა თეორია, რომელიც ქმნის შორის ურთიერთობა მოცემულ პირობებში და საშუალებას გაძლევთ, რათა დასკვნების საფუძველზე ვარაუდები და შეფასებები. საკმაოდ ხშირად, ჩვენ ვთხოვთ ერთმანეთს: "ლოგიკურია" პასუხი ადასტურებს, ჩვენი ვარაუდები და აკრიტიკებს მატარებელი აზრის. მაგრამ ეს პროცესი არ მთავრდება: ჩვენ ვაგრძელებთ გაიგო.

ზოგჯერ რიგი პირობები (input) იმდენად დიდი, და ურთიერთობა, მათ შორის იმდენად გაუგებარია და რთული, რომ ადამიანის ტვინი არ შეუძლია "დაიჯესტი" ერთდროულად. თქვენ შეიძლება უნდა თვეზე მეტია (კვირაში, წელი) გაგება, თუ რა ხდება. მაგრამ თანამედროვე ცხოვრება არ გვაძლევს ამ დროის ინტერვალით მიიღოს გადაწყვეტილება. ჩვენ მიმართო დახმარების კომპიუტერები. და ეს აქ რომ არ არსებობს ალგებრა და ლოგიკა, თავისი კანონები და თვისებები. ჩამოტვირთვის შემდეგ, ყველა ორიგინალური მონაცემები, ჩვენ არ დავუშვებთ, კომპიუტერი აღიარებს ყველა ურთიერთობები, აღმოფხვრას წინააღმდეგობები და იპოვოს სრულყოფილი გადაწყვეტა.

მათემატიკა და ლოგიკა

ცნობილი Gotfrid Vilgelm Leybnits ჩამოყალიბებული კონცეფცია "მათემატიკური ლოგიკა", რომელიც ამოცანები მარტივი მესმის, მხოლოდ მცირე წრის მეცნიერები. განსაკუთრებული ინტერესი არის მიმართულებით არ იწვევს, და შუა XIX საუკუნეში მათემატიკური ლოგიკა ცნობილია რამდენიმე.

დიდი ინტერესი სამეცნიერო საზოგადოებას გამოიწვია დავა, რომელიც ინგლისელმა Dzhordzh Bul განაცხადა, რომ აპირებს შექმნას ფილიალის მათემატიკის, არ მქონე არანაირი პრაქტიკული გამოყენება. როგორც ვიცით ისტორიიდან, ამ დროს აქტიურად ვითარდება საწარმოო, ჩვენ შემუშავებული ყველა სახის დამხმარე მანქანები, ტ. E. ყველა სამეცნიერო აღმოჩენები არ ჰქონდა პრაქტიკული ორიენტაცია.

ვეძებთ წინ, ჩვენ ვამბობთ, რომ ლოგიკური ალგებრა - ყველაზე გავრცელებული მსოფლიოში დღეს ნაწილი მათემატიკა. ასე რომ, თქვენი არგუმენტი Buhl დაკარგა.

Dzhordzh Bul

პიროვნება ავტორი განსაკუთრებულ ყურადღებას იმსახურებს. მაშინაც კი, თუ გავითვალისწინებთ იმ ფაქტს, რომ ბოლო ადამიანი გაიზარდა ადრე, მაინც უნდა აღინიშნოს, რომ 16 წლის განმავლობაში იოანე. Buhl ისწავლება სოფლის სკოლაში, და 20 წლის გახსნა საკუთარი სკოლა Lincoln. მათემატიკოსი შესანიშნავად აითვისა ხუთ უცხო ენების და თავის თავისუფალ დროს, კითხულობს სამუშაოები Newton და Lagrange. და ეს ყველაფერი - ჩვეულებრივი თანამშრომელი შვილი!

1839 წელს, Buhl გაუგზავნა მისი პირველი სამეცნიერო ნაშრომი კემბრიჯის მათემატიკური ჟურნალი. მეცნიერი აღმოჩნდა 24 წლის. Boole მუშაობა იმდენად დაინტერესებული სამეფო საზოგადოების, 1844 წელს მან მიიღო მედალი თავისი წვლილი შეიტანა განვითარებაში მათემატიკური ანალიზი. რამდენიმე გამოქვეყნებული ნაშრომები, რომელშიც ელემენტები მათემატიკური ლოგიკა, მათემატიკა დაშვებული ახალგაზრდა პოსტი პროფესორ კოლეჯის Cork ქვეყნის იყო აღწერილი. შეგახსენებთ, რომ ძალიან Boole განათლების არ იყო.

იდეა

პრინციპში, ლოგიკური ალგებრა ძალიან მარტივია. არსებობს განცხადებები (ლოგიკური გამონათქვამები), საწყისი თვალსაზრისით მათემატიკა, განსაზღვრა შესაძლებელია მხოლოდ ორი სიტყვა: "ნამდვილი" ან "ყალბი". მაგალითად, ხეები გაზაფხულზე bloom - სიმართლე, ზაფხულში თოვს - ტყუილი. სილამაზის მათემატიკის ის არის, რომ ეს არ არის მკაცრად აუცილებელია გამოიყენეთ მხოლოდ ციფრები. იყიდება ალგებრა გადაწყვეტილებათა საკმაოდ ჯდება ნებისმიერი განცხადებების უნიკალური მნიშვნელობა აქვს.

ამდენად, ალგებრა ლოგიკა შეიძლება გამოყენებულ იქნას სიტყვასიტყვით ყველგან: დაგეგმვისა და წერა დავალებით, ანალიზი წინააღმდეგობრივი ინფორმაცია მიმდინარე მოვლენების შესახებ და განსაზღვრა თანმიმდევრობა ქმედებები. რაც ყველაზე მთავარია - უნდა გააცნობიეროს, რომ არ აქვს მნიშვნელობა, თუ რამდენად ჩვენ დადგინდეს სიმართლე და სიყალბის განცხადებები. ამ "როგორ" და "რატომ" თქვენ უნდა იგნორირება. რა მნიშვნელობა აქვს არის მხოლოდ დადასტურებული ფაქტი: სიმართლე არის ტყუილი.

რა თქმა უნდა, პროგრამირების ყველაზე მნიშვნელოვანი ფუნქციების ალგებრა ლოგიკა, რომლებიც ჩაწერილია შესაბამისი ნიშნები და სიმბოლოები. და ვისწავლოთ მათ - ეს იმას ნიშნავს, რომ ისწავლონ ახალი უცხო ენა. არაფერი არ არის შეუძლებელი.

ძირითადი ცნებები და განმარტებები

გარეშე შესვლის სიღრმე, გავუმკლავდეთ ტერმინოლოგია. ასე რომ, ლოგიკური ალგებრა გულისხმობს:

• განცხადებები;
• ლოგიკური ოპერაციების
• ფუნქციები და კანონები.

განცხადებები - ნებისმიერი დადებითი გამოხატულება, რომელიც შეიძლება იქნას გაგებული ორი აფასებენ. ისინი დაწერილი, როგორც ნომრები (5> 3) ან ჩამოყალიბებული ნაცნობი სიტყვები (elephant - უდიდესი ძუძუმწოვარი). ამ შემთხვევაში, ფრაზა "ჟირაფის კისრის არ არის" ასევე აქვს არსებობის უფლება, მხოლოდ ლოგიკური ალგებრა განსაზღვრავს, როგორც "ტყუილი".

ყველა განცხადება უნდა იყოს არაორაზროვანი, მაგრამ ისინი შეიძლება იყოს ძირითადი და რთული. ბოლო გამოყენება ლოგიკური bundle. E. In ალგებრა განცხადებები გადაწყვეტილებათა ნაერთი ჩამოყალიბდა დამატებით ელემენტარული ლოგიკა ოპერაციებში.

ლოგიკური ალგებრა ოპერაციების

ჩვენ უკვე გვახსოვდეს, რომ ოპერაციების ალგებრა განაჩენები - ლოგიკური. ისევე, როგორც ალგებრა ნომრები გამოყენებით არითმეტიკული ოპერაციების დაამატოთ, სხვაობა, ან შეადაროთ ნომრები, მათემატიკური ლოგიკა ელემენტების დაუშვას, რომ კომპლექსური განცხადებები, უარყოფა ან გამოვთვალოთ საბოლოო შედეგი.

ლოგიკური ოპერაციების ფორმალიზაცია და სიმარტივის გამოიხატება ფორმულა, ჩვენთვის არითმეტიკული. თვისებები ლოგიკური ალგებრა განტოლებები, რათა შესაძლებელი ჩაწერა და გამოვთვალოთ უცნობია. ლოგიკური ოპერაციები , როგორც წესი, ჩაწერილი ჭეშმარიტება მაგიდასთან. მისი ელემენტების განსაზღვრა სვეტები და კომპიუტერული ოპერაცია, რომელიც ხორციელდება მათ, და რიგები ნახოთ შედეგი გათვლები.

ძირითადი ლოგიკით მოქმედებს

ყველაზე გავრცელებული ლოგიკური ალგებრა ოპერაციები უარყოფა (არა), და ლოგიკური და ან. ასე რომ, ეს შესაძლებელია აღწერს პრაქტიკულად ყველა ნაბიჯები ალგებრა გადაწყვეტილება. ჩვენ დეტალურად თითოეული სამი ოპერაციებში.

უარყოფა (არ) არის გამოყენებული მხოლოდ ერთი ელემენტია (operand). აქედან გამომდინარე, ოპერაცია ეწოდება unary უარყოფა. ჩაწერა კონცეფცია "არა" გამოყენებით ამგვარი სიმბოლოების: ¬A, A ან !. ცხრილის სახით ის ასე გამოიყურება:

ფუნქცია უარის ტიპიური ასეთი განცხადება: თუ ეს ასეა, მაშინ A - სიცრუეა. მაგალითად, მთვარე დედამიწის ირგვლივ ბრუნავს - სიმართლე; დედამიწა მზის ირგვლივ მთვარე - სიცრუეა.

ლოგიკური გამრავლება და გარდა

ლოგიკური და ოპერაცია ეწოდება კავშირში. რას ნიშნავს ეს? პირველ რიგში, ეს შეიძლება იყოს გამოყენებული ორი operands, ანუ I - .. ორობითი ოპერაცია. მეორე, ეს არის მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სიმართლე ორივე operands (A და B) არის ჭეშმარიტი და გამოხატვის თავად. ანდაზა, "მოთმინება და მცირე ძალისხმევა" ნიშნავს, რომ მხოლოდ ორი ფაქტორი შეიძლება დაეხმაროს ადამიანს გაუმკლავდეს სირთულეებს.

სიმბოლოები გამოიყენება ჩაწერა: A∧B, A⋅B ან && B.

ერთობლიობაში მსგავსი გამრავლება არითმეტიკული. ზოგჯერ და აცხადებენ - ლოგიკური გამრავლება. თუ გაამრავლებ ელემენტები რიგები მაგიდა, მივიღებთ შედეგად მსგავსი ლოგიკური აზროვნების.

გათიშვის არის ლოგიკური ან ოპერაცია. მართალია, თუ მინიმუმ ერთი განცხადებებს მართალია (A ან B). ეს არის დაწერილი, როგორც ეს: A∨B, A + B ან A || B. სიმართლე მაგიდა ამ ოპერაციებს:

გათიშვის მსგავსი არითმეტიკული გარდა. ლოგიკური ამისა ოპერაცია აქვს მხოლოდ ერთი შეზღუდვა: 1 + 1 = 1. მაგრამ უნდა გვახსოვდეს, რომ ციფრულ ფორმატში შემოიფარგლება მათემატიკური ლოგიკა 0 და 1 (სადაც 1 - სიმართლე, 0 - ცრუ). მაგალითად, განაცხადი "მუზეუმში ხედავთ შედევრი და იპოვოს კარგი კომპანია" ნიშნავს, რასაც თქვენ ხედავთ ნამუშევრები, და ეს შესაძლებელია შეხვდება საინტერესო პიროვნება. ამავე დროს, არ გამოვრიცხავ, ერთდროულად შესრულება ორივე მოვლენები.

ფუნქციები და კანონები

ასე რომ, ჩვენ უკვე ვიცით, რა ლოგიკური ოპერაციის გამოყენებით ლოგიკური ალგებრა. ფუნქციები აღწერს ყველა თვისებები ელემენტების მათემატიკური ლოგიკა, და საშუალებას გვაძლევს გავამარტივოთ კომპლექსური ნაერთი განცხადებები. ყველაზე მკაფიო და მარტივი, როგორც ჩანს უარის ქონება წარმოებულები ოპერაციებში. By წარმოებულები მიხვდა XOR, გავლენა და ექვივალენტობის. როგორც ჩვენ წავიკითხე მხოლოდ ძირითადი ოპერაციების, და შემდეგ ქონება არის ასევე მხოლოდ განიხილოს მათ.

Associativity იმას ნიშნავს, რომ განცხადებები, როგორიცაა "A და B და B" თანმიმდევრობა ჩამონათვალი operands მნიშვნელობა არ აქვს. ფორმულა წერია შემდეგი რედაქციით:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

როგორც ხედავთ, ეს არის უნიკალური ერთობლიობაში, მაგრამ გათიშვის.

Commutativity ამტკიცებს, რომ შედეგი ერთობლიობაში ან გათიშვის არ არის დამოკიდებული, რომელიც პუნქტის განიხილეს თავიდანვე:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity საშუალებას გამჟღავნება ფრჩხილებში კომპლექსის ლოგიკური გამონათქვამები. წესები მსგავსი გახსნას ფრჩხილებში რომ გამრავლება და გარდა ამისა ალგებრა:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

ერთეული თვისებები და ნულიდან, რომელიც შეიძლება იყოს ერთ-ერთი operands ასევე მსგავსი ალგებრული გამრავლების ნულოვანი ან ერთი, და დამატებით ერთეული:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency გვეუბნება, რომ თუ შედარებით ორი თანაბარი operands შედეგია ოპერაციის იგივეა, თქვენ შეგიძლიათ "ჩააგდოს" ჭარბი გაართულებს მსჯელობა operands. და ერთობლიობაში და გათიშვის ოპერაციები idempotent.

B∧B = B; B∨B = B.

Acquisition ასევე საშუალებას გვაძლევს გაამარტივებს განტოლება. შთანთქმის აცხადებს, რომ გამოხატვა მიმართა ერთ operand, კიდევ ერთი ოპერაცია იმავე ელემენტის შედეგი operand შთამნთქმელი ოპერაცია.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

თანმიმდევრობა ოპერაციების

თანმიმდევრობა ოპერაციების დიდი მნიშვნელობა აქვს. სინამდვილეში, როგორც ალგებრა, არ არის პრიორიტეტული ფუნქცია, რომელიც იყენებს ლოგიკური ალგებრა. ფორმულები შეიძლება გამარტივებული, მხოლოდ იმ მნიშვნელობაზე ოპერაციებში. რეიტინგში ყველაზე მნიშვნელოვანი უმნიშვნელო, ვიღებთ შემდეგი თანმიმდევრობით:

1. უარი.

2. კავშირში.

3. გათიშვის, XOR.

4. გავლენა, ექვივალენტობის.

როგორც ხედავთ, მხოლოდ უარყოფა ერთობლიობაში და არ აქვთ თანაბარი პრიორიტეტი. პრიორიტეტი გათიშვის და XOR თანაბარია, ისევე, როგორც პრიორიტეტი გულისხმობს და ექვივალენტობის.

ფუნქციები გულისხმობს და ექვივალენტობის

როგორც უკვე ვთქვით, გარდა ძირითადი ლოგიკური ოპერაციების, მათემატიკური ლოგიკა და თეორია ალგორითმები გამოყენებით წარმოებულები. ეს არის ყველაზე ხშირად გულისხმობს და ექვივალენტობის.

გავლენა და ლოგიკურია, - ეს განცხადება, რომელშიც ერთი ქმედება არის მდგომარეობა, და მეორე - შედეგად მისი განხორციელება. სხვა სიტყვებით, ეს წინადადება იმ საბაბით, "თუ ... მაშინ". "სადილის შემდეგ მოდის reckoning." E. მართვის გამკაცრდა სასწავლებელი გორაზე. თუ არ არის სურვილი მთიდან, და შემდეგ გადაიტანეთ სასწავლებელი არ არის საჭირო. წერია ასე: A → B ან A⇒B.

ექვივალენტობის გულისხმობს იმას, რომ წმინდა ეფექტი ხდება მხოლოდ მაშინ, როცა ორივე operands არის ჭეშმარიტი. მაგალითად, ღამით იძლევა გზა დღის შემდეგ (და მხოლოდ ამის შემდეგ), როდესაც მზე ამოდის მეტი ჰორიზონტზე. ენაზე მათემატიკური ლოგიკა ამ განცხადების წერია როგორც A≡B, A⇔B, A == B.

სხვა კანონებით ლოგიკური ალგებრა

ალგებრა გადაწყვეტილება ვითარდება, და ბევრი დაინტერესებული მეცნიერები ფორმულირება ახალი კანონები. ყველაზე ცნობილი ითვლება პოსტულატები Scottish მათემატიკოსი O. De Morgan. მან შენიშნა, და მისცა განმარტება ისეთი თვისებები, როგორც ახლოს უარყოფა, გარდა და ორმაგი უარყოფითი.

Close უარის ვარაუდობს, რომ ადრე ფრჩხილებში არსებობს უარის თქმის არა (A ან B) = არა A და B. NOT

როდესაც operand უარყო, მიუხედავად მისი ღირებულება, ვთქვათ, გარდა:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

და ბოლოს, ორმაგი უარყოფა თავად კომპენსირებას. ანუ ადრე ან operand უარყოფა ქრება და რჩება მხოლოდ ერთი.

როგორ უნდა გადაწყდეს ტესტები

Logic გამარტივებას გულისხმობს წინასწარ განტოლებები. ისევე, როგორც Lie ალგებრა, აუცილებელია მაქსიმალურად ხელი შეუწყონ პირველი პირობა (თავი დაეღწია რთული შემავალი ოპერაციების, და მათთან ერთად), შემდეგ დაიწყოს ეძებს სწორი პასუხი.

რა უნდა გავაკეთოთ, რომ გაამარტივოს? კონვერტაციის ყველა წარმოებულები მარტივი ოპერაცია. მაშინ uncover ყველა ფრჩხილებში (ან პირიქით, რათა ფრჩხილები, რათა შეამციროს ამ ელემენტი). შემდეგი ნაბიჯი უნდა გამოიყენოს ლოგიკური ალგებრა თვისებები პრაქტიკაში (შთანთქმის თვისებები ნულოვანი და ერთი და ტ.).

საბოლოო ჯამში, განტოლება უნდა შედგებოდეს მინიმუმ ნომერი უცნობი, ერთად მარტივი ოპერაციები. იოლი გზა ვეძებოთ გამოსავალი, თუ დიდი რაოდენობით ახლოს უარყოფით შედეგებს. მაშინ პასუხი გაიხსნება თითქოს თავისთავად.