Განუსაზღვრელი ინტეგრალი. გამოთვლების განუსაზღვრელი ინტეგრალები

ერთ-ერთი ფუნდამენტური სექციები მათემატიკური ანალიზის შემადგენელი სტატიის. იგი მოიცავს ძალიან ფართო სფეროში ობიექტების, სადაც პირველი - ეს არის განუსაზღვრელი ინტეგრალი. პოზიცია, რომ დგას, როგორც გასაღები, რომელიც ჯერ კიდევ საშუალო სკოლა ავლენს გახშირებული პერსპექტივები და შესაძლებლობები, რომელიც აღწერს უმაღლესი მათემატიკა.

გამოჩენა

ერთი შეხედვით, როგორც ჩანს, აბსოლუტურად განუყოფელი თანამედროვე, აქტუალური, მაგრამ პრაქტიკაში აღმოჩნდება, რომ ის დაბრუნდა 1800 წ. მთავარი ოფიციალურად ითვლება ეგვიპტეში, როგორც ჩვენამდე არ მოუღწევია ადრე მტკიცებულება მისი არსებობის შესახებ. ეს იმის გამო, რომ ინფორმაცია, ყველა ხოლო მდგომარეობაში უბრალოდ მოვლენაა. მან კიდევ ერთხელ ადასტურებს დონის სამეცნიერო განვითარების ხალხების იმ დროს. და ბოლოს, სამუშაოები იქნა ნაპოვნი უძველესი ბერძნული მათემატიკოსები, დათარიღებული მე -4 საუკუნეში. ისინი აღწერს მეთოდი, სადაც განუსაზღვრელი ინტეგრალი, რომლის არსი იყო, მოცულობის ან ფართობი curvilinear ფორმის (სამგანზომილებიანი და ორგანზომილებიანი თვითმფრინავი, შესაბამისად). გაანგარიშება ეფუძნებოდა პრინციპით სამმართველოს ორიგინალური ფიგურა უსასრულოდ კომპონენტები, იმ პირობით, რომ მოცულობა (ტერიტორია) უკვე ცნობილია, რომ მათ. დროთა განმავლობაში, მეთოდი გაიზარდა, Archimedes გამოიყენება ის, რომ ფართობი parabola. მსგავსი გათვლებით, ამავე დროს, უნდა ჩატარდეს წვრთნები ძველ ჩინეთში, სადაც ისინი სრულიად დამოუკიდებელი ბერძნული თანამემამულე მეცნიერება.

განვითარების

შემდეგი გარღვევა XI საუკუნეში გახდა მუშაობის არაბთა მეცნიერს "უნივერსალი" აბუ ალი ალ-Basri, რომელმაც აიძულა საზღვრები უკვე ცნობილია, იყო მომდინარეობს შემადგენელი ფორმულა თანხები თანხები და გრადუსი პირველიდან მეოთხე, მსჯელობა ამ ჩვენთვის ცნობილი ინდუქციური მეთოდი.
გონებაში დღეს აღფრთოვანებული უძველესი ეგვიპტელები შექმნა საოცარი ძეგლია ყოველგვარი სპეციალური ინსტრუმენტები, გარდა იმისა, რომ საკუთარი ხელით, მაგრამ არ არის ძალა შეშლილი მეცნიერები დრო არანაკლებ სასწაული? შედარებით მიმდინარე ჯერ მათი ცხოვრება, როგორც ჩანს, თითქმის პრიმიტიული, მაგრამ გადაწყვეტილება განუსაზღვრელი ინტეგრალები დაასკვნა, ყველგან და პრაქტიკაში გამოიყენება შემდგომი განვითარებისთვის.

შემდეგი ნაბიჯი მოხდა XVI საუკუნეში, როდესაც იტალიელი მათემატიკოსი Cavalieri მოუტანა განუყოფელი მეთოდი, რომელიც აიყვანეს Per Ferma. ეს ორი პიროვნება საფუძველი ჩაუყარა თანამედროვე ინტეგრალური აღრიცხვის, რომელიც ცნობილია მომენტში. ისინი მიბმული ცნებები დიფერენციაცია და ინტეგრაცია, რომელიც იყო ადრე უნახავს როგორც თვითმმართველობის შეიცავს ერთეული. მიერ და დიდი, მათემატიკის იმ დროს იყო ფრაგმენტული ნაწილაკების დასკვნები არსებობს თავად, შეზღუდული გამოყენება. გზა გაერთიანდნენ და საერთო ენის გამონახვას, ერთადერთი ჭეშმარიტი მომენტში, მადლობა მას, თანამედროვე მათემატიკური ანალიზი მქონდა შესაძლებლობა, რომ გაიზრდება და განვითარდება.

ერთად დროთა განმავლობაში ყველაფერს ცვლის და განუყოფელი სიმბოლოა, ისევე. მიერ და დიდი, ეს იყო დანიშნული მეცნიერები, რომლებიც თავისებურად, მაგალითად, Newton გამოიყენება კვადრატული ხატი, რომელიც ბოლო ინტეგრებადი ფუნქცია, ან უბრალოდ ერთად. ეს შეუსაბამობა გაგრძელდა XVII საუკუნეში, როცა საეტაპო მთელი თეორია მათემატიკური ანალიზი მეცნიერი Gotfrid Leybnits გააცნო ასეთი ხასიათი ნაცნობია ჩვენთვის. მოგრძო "S" რეალურად საფუძველზე ამ წერილს რომან დამწერლობა, მას შემდეგ, რაც ნიშნავს თანხა primitives. სახელი განუყოფელი მოპოვებული წყალობით Jakob Bernoulli მას შემდეგ, რაც 15 წლის განმავლობაში.

ფორმალური განმარტება

განუსაზღვრელი ინტეგრალი დამოკიდებულია განმარტება პრიმიტიული, ამიტომ ჩვენ მიგვაჩნია, რომ ეს, პირველ რიგში.

წარმოებული - ეს არის შებრუნებული ფუნქცია წარმოებული, პრაქტიკაში ეს ეწოდება პრიმიტიული. წინააღმდეგ შემთხვევაში: პრიმიტიული ფუნქცია d - ფუნქცია D, რომელიც არის წარმოებული v <=> V '= v. ძებნა პრიმიტიული გამოთვლა განუსაზღვრელი ინტეგრალი, და თავად ეს პროცესი ეწოდება ინტეგრაციას.

მაგალითად:

ფუნქცია s (y) = y ^{3 და} პრიმიტიული S (y) = (y ^4/4).

კომპლექტი ყველა primitives ფუნქცია - ეს არის განუსაზღვრელი ინტეგრალი, აღნიშნა შემდეგი რედაქციით: ∫v (x) dx.

ძალით იმისა, რომ V (x) - მხოლოდ გარკვეული პრიმიტიული ორიგინალური ფუნქცია, გამოხატვის ფლობს: ∫v (x) dx = V (x) + C, სადაც C - მუდმივი. ქვეშ თვითნებური მუდმივი ეხება ნებისმიერი მუდმივი, მას შემდეგ, რაც მისი წარმოებული არის ნულოვანი.

თვისებები

თვისებები გააჩნდა მიერ განუსაზღვრელი ინტეგრალი, არსებითად საფუძველზე განმარტება და თვისებები წარმოებულები.
განვიხილოთ გასაღები რაოდენობა:

• განუყოფელი წარმოებული პრიმიტიული პრიმიტიული თავად plus თვითნებური მუდმივი C <=> ∫V '(x) dx = V (x) + C;
• წარმოებული განუყოფელი ფუნქცია თავდაპირველ ფუნქციას <=> (∫v (x) dx) = v (x);
• მუდმივი ამოიღეს ქვეშ განუყოფელი ნიშანი <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, სადაც k - თვითნებური;
• განუყოფელი, რომელიც აღებულია თანხა იდენტურად ტოლი თანხა ინტეგრალები <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

ბოლო ორი თვისებები შეიძლება დაასკვნა, რომ განუსაზღვრელი ინტეგრალი არის სწორხაზოვანი. აქედან გამომდინარე, ჩვენ გვაქვს: ∫ (kv (y) dy + ∫ LW (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

იმისათვის, რომ ნახოთ მაგალითები აფიქსირებს გადაწყვეტილებები განუსაზღვრელი ინტეგრალები.

თქვენ უნდა იპოვოთ განუყოფელი ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

მაგალითზე შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ თქვენ არ იცით, თუ როგორ უნდა გადაწყვიტოს განუსაზღვრელი ინტეგრალები? უბრალოდ მოვძებნოთ ყველა primitives! მაგრამ ძიება განხილული პრინციპები ქვემოთ.

მეთოდები და მაგალითები

გადაჭრის მიზნით, განუყოფელი, შეგიძლიათ მივმართოდ შემდეგი მეთოდები:

• მზად ისარგებლოს მაგიდაზე;
• ინტეგრირება ნაწილები;
• ინტეგრირებული შეცვლის ცვლადი;
• შემაჯამებელი ნიშნის ქვეშ დიფერენციალური.

მაგიდები

ყველაზე მარტივი და სასიამოვნო გზა. ამ ეტაპზე, მათემატიკური ანალიზი შეიძლება boast საკმაოდ ვრცელი მაგიდები, რომელიც გაწერილია ძირითადი ფორმულა განუსაზღვრელი ინტეგრალები. სხვა სიტყვებით, არსებობს თარგები მომდინარეობს მდე და თქვენ შეგიძლიათ მხოლოდ ისარგებლოს მათ. აქ არის ჩამონათვალი მთავარი მაგიდა პოზიციებზე, რომელიც შეიძლება იყოს პრაქტიკულად ყოველ მაგალითად, აქვს გამოსავალი:

• ∫0dy = C, სადაც C - მუდმივი
• ∫dy = y + C, სადაც C - მუდმივი
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, სადაც C - მუდმივი და n - ნომერი განსხვავებული ერთობა;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, სადაც C - მუდმივი
• ^{∫e y dy = e y + C} , სადაც C - მუდმივი
• ^{∫k y dy = (k y /} ln k) + C, სადაც C - მუდმივი
• ∫cosydy = Siny + C, სადაც C - მუდმივი
• ∫sinydy = -cosy + C, სადაც C - მუდმივი
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, სადაც C - მუდმივი
• ∫dy / sin ² y = -ctgy + C, სადაც C - მუდმივი
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, სადაც C - მუდმივი
• ∫chydy = shy + C, სადაც C - მუდმივი
• ∫shydy = chy + C, სადაც C - მუდმივი.

საჭიროების შემთხვევაში, მიიღოს რამდენიმე ნაბიჯები integrand რომ ცხრილის ხედი და სარგებლობენ გამარჯვება. მაგალითად: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x ცოდვა (5x - 2) + C.

გადაწყვეტილების თანახმად, ნათელია, რომ, მაგალითად, მაგიდა integrand აკლია მულტიპლიკატორის 5. ჩვენ დაამატოთ ეს პარალელურად ამ ამრავლებ 1/5 ზოგადი გამოხატვის არ იცვლება.

ინტეგრაციის ნაწილები

განვიხილოთ ორი ფუნქცია - z (y) და X (y). ისინი უნდა იყოს მუდმივად დიფერენცირებული თავის დომენში. ერთ დიფერენციაცია თვისებები გვაქვს: დ (xz) = xdz + ZDX. აერთიანებს ორივე მხარეს, მივიღებთ: ∫d (xz) = ∫ (xdz + ZDX) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

გადაწერა შედეგად განტოლება, მივიღებთ ფორმულა, რომელიც აღწერს მეთოდი ინტეგრაციის ნაწილები: ∫zdx = zx - ∫xdz.

რატომ არის აუცილებელი? ის ფაქტი, რომ ზოგიერთი მაგალითი, რომ ეს შესაძლებელია გამარტივება, ვთქვათ, შეამციროს ∫zdx ∫xdz, თუ ამ უკანასკნელს ახლოს რუბრიკების სახით. გარდა ამისა, ეს ფორმულა შეიძლება გამოყენებული კიდევ ერთხელ, ოპტიმალური შედეგები.

როგორ უნდა გადაწყდეს განუსაზღვრელი ინტეგრალები ამ გზით:

• აუცილებელია გამოვთვალოთ ∫ (s + 1) e ^2s ds

∫ (x + ^{1) e 2s ds = {z =} s + 1, dz = ds, y = 1 ^{/ 2e 2s, dy = e 2x} ds} = ((s + 1) e ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) e ^2s) / 2-e ^2s / 4 + C;

• უნდა გამოვთვალოთ ∫lnsds

∫lnsds = {z = L¸ns, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -s + C = s (L¸ns-1) + C.

შეცვლის ცვლადი

ეს პრინციპი გადაჭრის განუსაზღვრელი ინტეგრალები არანაკლებ მოთხოვნა, ვიდრე წინა ორი, თუმცა რთული. მეთოდი ასეთია: მოდით V (x) - შემადგენელი ზოგიერთი ფუნქცია v (x). იმ შემთხვევაში, თავისთავად განუყოფელი მაგალითი slozhnosochinenny საქმე, სავარაუდოდ დაბნეული და დაცემას არასწორი გზა გადაწყვეტილებები. თავიდან აცილების მიზნით, ამ პრაქტიკის ცვლილება ცვლადი x to z, რომელშიც ზოგადი გამოხატულება ვიზუალურად გამარტივებული, ხოლო შენარჩუნების z დამოკიდებულია x.

მათემატიკური თვალსაზრისით, ეს ასეთია: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (ჩ) = V (y -1 (x)), სადაც x = y ( z) - ცვლილება. და, რა თქმა უნდა, შებრუნებული ფუნქცია z = y ^-1 (x) სრულად აღწერს ურთიერთობას და ურთიერთობა ცვლადები. შენიშვნა - დიფერენციალური dx აუცილებლად შეიცვალა ახალი დიფერენციალური dz, შეცვლის შემდეგ ცვლადი განუსაზღვრელი ინტეგრალი მოიცავს შეცვლის ყველგან, არა მხოლოდ integrand.

მაგალითად:

• უნდა მოვძებნოთ ∫ (s + 1) / (s ² + 2s - 5) ds

მიმართვა ცვლილება z = (s + 1) / (s ² + 2s-5). მაშინ dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. შედეგად, შემდეგი გამოხატვის, რომელიც არის ძალიან მარტივი გამოთვლა:

∫ (s + 1) / (s ² + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2s-5 | + C;

• თქვენ უნდა იპოვოთ განუყოფელი ∫2 ^s e ^S DX

მოგვარება ხელმეორე შემდეგი სახით:

^{∫2 s e s ds = ∫ (} 2e) s ds.

ჩვენ აღინიშნოს მიერ a = 2e (ჩანაცვლება არგუმენტი ეს ნაბიჯი არ არის, იგი მაინც s), ვაძლევთ ჩვენი შეხედვით რთული შემადგენელი ძირითადი ცხრილის ფორმა:

^{∫ (2e) s ds = ∫a} s ds = a s / LNA + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^s e ^s / ln (2 + LNE) + C = 2 ^s e ^s / (LN2 + 1) + C.

შეჯამება დიფერენციალური ნიშანი

მიერ და დიდი, ეს მეთოდი განუსაზღვრელი ინტეგრალები - ტყუპი ძმა პრინციპის შეცვლას ცვლადი, მაგრამ არსებობს განსხვავებები რეგისტრაციის პროცესი. მოდი, უფრო დეტალურად.

თუ ∫v (x) dx = V (x) + C და y = z (x), მაშინ ∫v (y) dy = V (y) + C.

ამავე დროს, არ უნდა დაგვავიწყდეს, ტრივიალური განუყოფელი გარდაქმნების, მათ შორის:

• dx = d (x + a) და რომლის დროსაც - თითოეული მუდმივი
• dx = (1 / ა) d (ax + b), სადაც - მუდმივი ერთხელ, მაგრამ არა ნულოვანი;
• xdx = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = დ (cosx);
• cosxdx = D (sinx).

თუ გავითვალისწინებთ ზოგადად შემთხვევაში, თუ დავითვლით განუსაზღვრელი ინტეგრალი, მაგალითები შეიძლება გამომდინარეობდა ქვეშ ზოგადი ფორმულა w '(x) dx = dw (x).

მაგალითები:

• უნდა მოვძებნოთ ∫ (2s + 3) ² ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

ონლაინ დახმარება

ზოგიერთ შემთხვევაში, ბრალია, რომელიც შეიძლება გახდეს და სიზარმაცე, ან გადაუდებელი აუცილებლობა, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ მოთხოვნა, ან უფრო სწორად, გამოიყენოს კალკულატორი განუსაზღვრელი ინტეგრალები. მიუხედავად აშკარა სირთულისა და წინააღმდეგობრივი ბუნების ინტეგრალები, გადაწყვეტილება ექვემდებარება მათი კონკრეტული ალგორითმი, რომელიც ეფუძნება პრინციპს "თუ თქვენ არ ... შემდეგ ...".

რა თქმა უნდა, განსაკუთრებით რთული მაგალითია კალკულატორი არ დაეუფლოს, რადგან არსებობს შემთხვევები, როდესაც გადაწყვეტილება უნდა იპოვოს ხელოვნურად "იძულებითი" შემოღება გარკვეული ელემენტები პროცესში, რადგან შედეგიც სახეზეა გზებს. მიუხედავად იმისა, რომ საკამათო ხასიათის ამ განცხადებას, მართალია, როგორც მათემატიკის, პრინციპში, აბსტრაქტული, მეცნიერებისა და მისი ძირითადი ამოცანის მიიჩნევს, რომ უნდა მისცეს საზღვრებში. მართლაც, გლუვი ტურის თეორიები ძალიან რთულია გადაადგილება და განვითარება, ასე რომ არ ვივარაუდოთ, რომ მაგალითები გადაჭრის განუსაზღვრელი ინტეგრალები, რომელიც მოგვცა - ეს არის სიმაღლე შესაძლებლობები. მაგრამ უკან ტექნიკურ მხარეს რამ. მინიმუმ შეამოწმოთ გათვლებით, შეგიძლიათ გამოიყენოთ მომსახურების, რომელშიც დაიწერა ჩვენთვის. თუ არ არის საჭიროება ავტომატური გაანგარიშება კომპლექსის გამოვლინება, მაშინ ისინი არ უნდა მიმართო უფრო სერიოზული პროგრამული უზრუნველყოფა. ყურადღება უნდა მიაქციოს, პირველ რიგში, გარემოს Matlab.

პროგრამა

გადაწყვეტილება განუსაზღვრელი ინტეგრალები ერთი შეხედვით როგორც ჩანს, სრულიად მოწყვეტილია რეალობას, რადგან ძნელია ვხედავ აშკარა გამოყენების თვითმფრინავი. მართლაც, პირდაპირ გამოყენება მათ არსად არ შეიძლება, მაგრამ ისინი აუცილებელია შუალედური ელემენტს გაყვანის პროცესი გადაწყვეტილებები გამოიყენება პრაქტიკაში. ამდენად, ინტეგრაციის უკან დიფერენციაცია, რითაც აქტიურად მონაწილეობს პროცესში გადაჭრის განტოლებები.
თავის მხრივ, ეს განტოლებები აქვს პირდაპირი ზეგავლენა გადაწყვეტილება მექანიკური პრობლემები, ტრაექტორია გაანგარიშება და თერმოკონდუქტომეტრიული - მოკლედ, ყველაფერი, რაც წარმოადგენს წინამდებარე და ჩამოყალიბებაში მომავალი. განუსაზღვრელი ინტეგრალი, მაგალითები, რომელიც ჩვენ განვიხილეთ ზემოთ, უმნიშვნელო ერთი შეხედვით, როგორც ბაზა განახორციელოს უფრო და უფრო ახალი აღმოჩენები.